在量子力学里，角动量算符（英语：angular momentum operator）是一种算符，类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋转对称性（rotational symmetry）的理论里，角动量算符占有中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基本特性[1]。
简介
角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系统里，如同能量和动量，角动量是守恒的。在量子力学里，角动量算符的概念是必要的，因为角动量的计算实现于描述量子系统的波函数，而不是经典地实现于一点或一刚体。在量子尺寸世界，分析的对象都是以波函数或量子幅来描述其机率性行为，而不是命定性(deterministic)行为。
数学定义
在经典力学里，角动量 
定义为位置 
与动量 
的叉积：
。
在量子力学里，对应的角动量算符 
定义为位置算符 
与动量算符 
的叉积：
。
由于动量算符的形式为
。
角动量算符的形式为
。
其中，
是梯度算符。
角动量是厄米算符
在量子力学里，每一个可观察量所对应的算符都是厄米算符。角动量是一个可观察量，所以，角动量算符应该也是厄米算符。让我们现在证明这一点，思考角动量算符的 x-分量 
：
。
其伴随算符 
为
。
由于 
、
、
、
，都是厄米算符，
。
由于 与 之间、 与 之间分别相互对易，所以，
。
因此， 是一个厄米算符。类似地，
与 
都是厄米算符。总结，角动量算符是厄米算符。
再思考 
算符，
。
其伴随算符 
为
。
由于 
算符、
算符、
算符，都是厄米算符，
。
所以， 算符是厄米算符。
对易关系
两个算符 
与 
的交换算符 ![{\displaystyle [{\hat {A}},\ {\hat {B}}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8afb716e55499d09f06c55b7fdc175944261df40)
，表示出它们之间的对易关系。
角动量算符与自己的对易关系
思考 与 的交换算符，
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left.\right.[{\hat {L}}_{x},\ {\hat {L}}_{y}]&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},\ {\hat {z}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},\ {\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},\ {\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]-[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},\ {\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]+[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},\ {\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&=i\hbar ({\hat {x}}{\hat {p}}_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}_{x})\\&=i\hbar {\hat {L}}_{z}\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8646535a10b3a9116d451f468bb8d7f5ad0c5a)
。
由于两者的对易关系不等于 0 ， 
与 
彼此是不相容可观察量。 与 绝对不会有共同的基底量子态。一般而言， 的本征态与 的本征态不同。
给予一个量子系统，量子态为 
。对于可观察量算符 ，所有本征值为 
的本征态 
，形成了一组基底量子态。量子态 可以表达为这基底量子态的线性组合：
。对于可观察量算符 ，所有本征值为 
的本征态 
，形成了另外一组基底量子态。量子态 可以表达为这基底量子态的线性组合：
。
根据哥本哈根诠释，量子测量可以用量子态塌缩机制来诠释。假若，我们测量可观察量 ，得到的测量值为其本征值 ，则量子态机率地塌缩为本征态 
。假若，我们立刻再测量可观察量 ，得到的答案必定是 ，量子态仍旧处于 。可是，假若，我们改为测量可观察量 ，则量子态不会停留于本征态 ，而会塌缩为 的本征态。假若，得到的测量值为其本征值 
，则量子态机率地塌缩为本征态 
。
根据不确定性原理，
![{\displaystyle \Delta L_{x}\ \Delta L_{y}\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {L}}_{x},\ {\hat {L}}_{y}]\rangle }{2i}}\right|={\frac {\hbar |\langle {\hat {L}}_{z}\rangle |}{2}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89879d6fdda313be1cc79087dcf32338be7aea17)
。
的不确定性与 的不确定性的乘积 
，必定大于或等于 
。
与 
之间， 与 之间，也有类似的特性。
角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系
思考 与 的交换算符，
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left.\right.[{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{z}]&=[{\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2},\ {\hat {L}}_{z}]\\&={\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{z}-{\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{x}+{\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{z}-{\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{y}\\&={\hat {L}}_{x}({\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{x}-i\hbar {\hat {L}}_{y})-({\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{z}+i\hbar {\hat {L}}_{y}){\hat {L}}_{x}+{\hat {L}}_{y}({\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{y}+i\hbar {\hat {L}}_{x})-({\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{z}-i\hbar {\hat {L}}_{x}){\hat {L}}_{y}\\&=0\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5855cb063232348476b66e113218ceeef62aa14)
。
与 是对易的，
与 彼此是相容可观察量，两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理，我们可以同时地测量到 与 的本征值。
类似地，
![{\displaystyle [{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{x}]=0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6809362e03bc29f2ce16f1ae5c1e8a8130d8c2c2)
、![{\displaystyle [{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{y}]=0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bb79ec4ee16db5efee85e08c4d1896c70eb5e7)
。
与 之间、 与 之间，都分别拥有类似的物理特性。
在经典力学里的对易关系
在经典力学里，角动量算符也遵守类似的对易关系：
；
其中，
是帕松括号，
是列维-奇维塔符号，
、
、
，代表直角坐标 
。
本征值与本征函数
采用球坐标。展开角动量算符的方程式：
；
其中，
、
、
，分别为径向单位向量、天顶角单位向量、与方位角单位向量。
转换回直角坐标，
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}={\frac {\hbar }{i}}\left[\mathbf {e} _{x}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+\mathbf {e} _{y}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf766a7cd621561097dbcfb3daa07ae5aa5dfc05)
。
其中，
、
、
，分别为 x-单位向量、y-单位向量、与 z-单位向量。
所以， 、 、 分别是
、
、
。
角动量平方算符是
- ；
其中，
、
、
。
经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程式[2]:169
。
满足算符 的本征函数是球谐函数 
：
；
其中，本征值 
是正整数。
球谐函数也是满足算符 微分方程式的本征函数：
；
其中，本征值 
是整数，
。
因为这两个算符的正则对易关系是 0 ，它们可以有共同的本征函数。
球谐函数 表达为
；
其中， 是虚数单位，
是伴随勒让德多项式，用方程式定义为
；
而 
是 
阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为：
。
球谐函数满足正交归一性：
。
这样，角动量算符的本征函数，形成一组单范正交基。任意波函数 
都可以表达为这单范正交基的线性组合：
；
其中，
。
参阅
参考文献
- ^ Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0201547155
- ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
外部链接
- 圣地牙哥加州大学物理系量子力学视听教学：角动量加法
