角動量算符

量子力學裏,角動量算符(英語:angular momentum operator)是一種算符,類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性rotational symmetry)的理論裏,角動量算符佔有中心的角色。角動量,動量,與能量是物體運動的三個基本特性[1]

簡介

角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏,如同能量和動量,角動量是守恆的。在量子力學裏,角動量算符的概念是必要的,因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數,而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界,分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其機率性行為,而不是命定性(deterministic)行為。

數學定義

經典力學裏,角動量   定義為位置   與動量  叉積

 

在量子力學裏,對應的角動量算符   定義為位置算符  動量算符   的叉積:

 

由於動量算符的形式為

 

角動量算符的形式為

 

其中, 梯度算符。

角動量是厄米算符

在量子力學裏,每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量,所以,角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點,思考角動量算符的 x-分量  

 

伴隨算符  

 

由於      ,都是厄米算符,

 

由於    之間、   之間分別相互對易,所以,

 

因此,  是一個厄米算符。類似地,   都是厄米算符。總結,角動量算符是厄米算符。

再思考   算符,

 

伴隨算符  

 

由於   算符、  算符、  算符,都是厄米算符,

 

所以,  算符是厄米算符。

對易關係

兩個算符   交換算符   ,表示出它們之間的對易關係

角動量算符與自己的對易關係

思考   交換算符

 

由於兩者的對易關係不等於 0 ,    彼此是不相容可觀察量   絕對不會有共同的基底量子態。一般而言, 本徵態  的本徵態不同。

給予一個量子系統,量子態為   。對於可觀察量算符   ,所有本徵值為   的本徵態   ,形成了一組基底量子態。量子態   可以表達為這基底量子態的線性組合  。對於可觀察量算符   ,所有本徵值為   的本徵態   ,形成了另外一組基底量子態。量子態   可以表達為這基底量子態的線性組合: 

根據哥本哈根詮釋量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若,我們測量可觀察量   ,得到的測量值為其本徵值   ,則量子態機率塌縮為本徵態   。假若,我們立刻再測量可觀察量   ,得到的答案必定是   ,量子態仍舊處於   。可是,假若,我們改為測量可觀察量   ,則量子態不會停留於本徵態   ,而會塌縮為   的本徵態。假若,得到的測量值為其本徵值   ,則量子態機率塌縮為本徵態  

根據不確定性原理

 

  的不確定性與   的不確定性的乘積   ,必定大於或等於  

   之間,   之間,也有類似的特性。

角動量平方算符與角動量算符之間的對易關係

思考    的交換算符,

 

  對易的   彼此是相容可觀察量,兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理,我們可以同時地測量到    的本徵值。

類似地,

 
 

   之間、   之間,都分別擁有類似的物理特性。

在經典力學裏的對易關係

在經典力學裏,角動量算符也遵守類似的對易關係:

 

其中, 帕松括號 列維-奇維塔符號    ,代表直角坐標  

本徵值與本徵函數

採用球坐標。展開角動量算符的方程式:

 

其中,    ,分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。

轉換回直角坐標

 

其中,    ,分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。

所以,    分別是

 
 
 

角動量平方算符是

 

其中,

 
 
 
 
 

經過一番繁雜的運算,終於得到想要的方程式[2]:169

 

滿足算符  本徵函數球諧函數  

 

其中,本徵值   是正整數。

球諧函數也是滿足算符   微分方程式的本徵函數:

 

其中,本徵值   是整數, 

因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ,它們可以有共同的本徵函數。

球諧函數   表達為

 

其中, 虛數單位 伴隨勒讓德多項式,用方程式定義為

 

  勒讓德多項式,可用羅德里格公式表示為:

 

球諧函數滿足正交歸一性

 

這樣,角動量算符的本徵函數,形成一組單範正交基。任意波函數   都可以表達為這單範正交基的線性組合

 

其中, 

參閱

參考文獻

  1. ^ Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0201547155
  2. ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 

外部連結

  • 聖地牙哥加州大學物理系量子力學視聽教學:角動量加法