一般線性模型

統計學上常見的線性模型

一般線性模型(general linear model, multivariate regression model)是一個統計學上常見的線性模型英語Linear model。這個模型在計量經濟學的應用中十分重要。不要與多元線性回歸廣義線性模型一般線性方法相混淆。

其公式一般寫為:

其中Y是一個包含反應變量的矩陣X是一個包含獨立自變量的設計矩陣B是一個包含多個估計參數的矩陣。U 是一個包含誤差剩餘項的矩陣。通常假設誤差在測量之間是不相關的,並遵循多元正態分布。如果誤差不遵循多元正態分布,則可以使用廣義線性模型來放寬關於YU的假設。

一般線性模型包含許多不同的統計模型:ANOVAANCOVAMANOVA英語Multivariate analysis of varianceMANCOVA英語Multivariate analysis of covariance,普通線性回歸t檢驗F檢驗。一般線性模型是對多於一個因變量的情況的多元線性回歸的推廣。如果YBU是列向量,則上面的矩陣方程將表示多元線性回歸。

使用一般線性模型的假設檢驗可以通過兩種方式進行:多變量或多個獨立的單變量英語Univariate檢驗。在多變量測試中,Y的列一起測試,而在單變量測試中,Y列獨立地測試,即作為具有相同設計矩陣的多個單變量測試。


多元線性回歸

多元線性回歸是簡單線性回歸到多個自變量的概括,以及一般線性模型的特例,僅限於一個因變量。多元線性回歸的基本模型是

 

對於每個觀察值,i = 1,...,n。

在上面的公式中,我們考慮 n 個觀察一個因變量和 p 個獨立變量。因此, 是因變量的第 i 個觀察值, 是對第 j 個自變量的第 i 個觀察值,j = 1,2,...,p。值 表示參數進行估計,並且 是第 i 個獨立同分布正常的錯誤。

在更一般的多元線性回歸中,對於 m > 1 個因變量中的每一個,存在上述形式的一個等式,其共享相同的解釋變量集並因此彼此同時估計:

 

觀察值 i = 1,...,n,因變量 j = 1,..., m。

應用

一般線性模型的應用出現在科學實驗的多腦掃描分析中,其中Y包含來自腦掃描儀的數據,X包含實驗設計變量和混淆值。 它通常以單變量方式進行測試(在此設置中通常稱為質量單變量),通常稱為統計參數映射[1]

註釋

  1. ^ Statistical parametric mapping. Wikipedia. 2018-08-11 (英語). 

參考文獻