一般線性模型

統計學上常見的線性模型

一般線性模型(general linear model, multivariate regression model)是一個統計學上常見的線性模型英語Linear model。這個模型在計量經濟學的應用中十分重要。不要與多元線性迴歸廣義線性模型一般線性方法相混淆。

其公式一般寫為:

其中Y是一個包含反應變數的矩陣X是一個包含獨立自變數的設計矩陣B是一個包含多個估計參數的矩陣。U 是一個包含誤差剩餘項的矩陣。通常假設誤差在測量之間是不相關的,並遵循多元常態分布。如果誤差不遵循多元常態分布,則可以使用廣義線性模型來放寬關於YU的假設。

一般線性模型包含許多不同的統計模型:ANOVAANCOVAMANOVA英語Multivariate analysis of varianceMANCOVA英語Multivariate analysis of covariance,普通線性迴歸t檢定F檢定。一般線性模型是對多於一個應變數的情況的多元線性迴歸的推廣。如果YBU是列向量,則上面的矩陣方程式將表示多元線性迴歸。

使用一般線性模型的假說檢定可以通過兩種方式進行:多變數或多個獨立的單變數英語Univariate檢定。在多變數測試中,Y的列一起測試,而在單變數測試中,Y列獨立地測試,即作為具有相同設計矩陣的多個單變數測試。


多元線性迴歸

多元線性迴歸是簡單線性迴歸到多個自變數的概括,以及一般線性模型的特例,僅限於一個應變數。多元線性迴歸的基本模型是

 

對於每個觀察值,i = 1,...,n。

在上面的公式中,我們考慮 n 個觀察一個應變數和 p 個獨立變數。因此, 是應變數的第 i 個觀察值, 是對第 j 個自變數的第 i 個觀察值,j = 1,2,...,p。值 表示參數進行估計,並且 是第 i 個獨立同分布正常的錯誤。

在更一般的多元線性迴歸中,對於 m > 1 個應變數中的每一個,存在上述形式的一個等式,其共享相同的解釋變數集並因此彼此同時估計:

 

觀察值 i = 1,...,n,應變數 j = 1,..., m。

應用

一般線性模型的應用出現在科學實驗的多腦掃描分析中,其中Y包含來自腦掃描儀的數據,X包含實驗設計變數和混淆值。 它通常以單變數方式進行測試(在此設置中通常稱為質量單變數),通常稱為統計參數映射[1]

註釋

  1. ^ Statistical parametric mapping. Wikipedia. 2018-08-11 (英語). 

參考文獻