中點法

數值分析裡的中點法（midpoint method）是求解常微分方程的一種數值方法，屬於單步法。

中點法的圖示說明，假設$y_{n}$等於$y(t_{n})$的實際值。中點法計算$y_{n+1}$讓紅色的弦近似平行於中點處的切線（綠色）

$y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.$

上式的顯式中點法為

$y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),$

1e

隱式中點法為

$y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}(y_{n}+y_{n+1})\right),$

1i

$n=0,1,2,\dots$。此處$h$是步階長度，是一個小的正數，$t_{n}=t_{0}+nh,$，而$y_{n}$是計算$y(t_{n})$的近似值。顯式中點法也稱為是改良的歐拉方法（modified Euler method），隱式中點式是最簡單的配置法（Collocation method），可用在哈密頓力學，也就是辛積分器。

此方法的名稱是因為上述公式會用到函數在$t=t_{n}+h/2={\tfrac {t_{n}+t_{n+1}}{2}}$位置的值，也就是在$t_{n}$以及$t_{n+1}$中點時的值，前者的值已知，後者的值未知，在計算中點的值時，也需要有一些假設，才能進行計算。

配合圖示（見右圖）會比較容易理解此一方法。在原始的歐拉方法裡，會用$f(t_{n},y_{n})$，計算曲線在$(t_{n},y_{n})$處的切線。此切線和垂直線$t=t_{n+1}$的交點即為下一個點$y_{n+1}$的值。不過，若此函數的二階導數在時間$t_{n}$和$t_{n+1}$的區間均為正, 或是均為負（如圖中的例子），隨著$h$加大，曲線和切線的距離會越來越遠，導致大誤差。圖中所畫的中點的切線（上方，綠線）比較可以近似這段曲線。不過因為要求解的就是此一曲線，時間$t_{n}$的資訊已知，其他資訊不足，可能無法精準的畫出中點處的切線。

因此，會先用原始的歐拉方法估計在中點的$y(t)$值，再用$f()$以及估計的中點資訊，計算切線斜率。用改善後的切線從$y_{n}$計算$y_{n+1}$的值。最後一步即為圖的紅色弦線。因為紅色弦線是估計值，用的是$y(t)$在中點處的估計值，不一定真的會和綠線（真正的中點切線）平行，仍會有誤差。

中點法每一步的局部誤差是$O\left(h^{3}\right)$，全域誤差是$O\left(h^{2}\right)$。其運算比歐拉方法要大，但在$h\to 0$的過程中，中點法的誤差會比歐拉方法降低的更快。

此法也是高階方法（如龍格-庫塔法）的範例之一。

中點法的推導

微分方程$y'=y,\ y(0)=1$的數值積分求解圖。

  藍：歐拉法

  綠：中點法

  紅：精確解：$y=e^{t}$

步長$h=1.0$。

同一個方程的數值方法求解，步長縮減為$h=0.25.$，可以看出中點法的收斂比歐拉法要快

中點法可以視為是改良版的歐拉方法

$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\,$

因此用類似的方式推導。 推導歐拉法的關鍵是以下的近似等式

$y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t))$

2

是源自以下的斜率公式

$y'(t)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}$

3

，其中$y'=f(t,y).$

在中點法中，將(3)改為更準確的式子

$y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}$

因此可以得到以下類似(3)式，計算$y(t+h)$的式子

$y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\right).$

4

在上式中，因為還不知道$y$在$t+h/2$的值，無法用上式直接計算$y(t+h)$。解法是用歐拉方法來求解$y(t+h/2)$:

$y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t)),$

代入(4)式中，可得

$y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))\right)$

以上則是顯式的中點法(1e)。

隱式中點法(1i)可以將此時間內的波形假設為直線，中間步數$t+h/2$的值用$y(t)$和$y(t+h)$的平均值來表示

$y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}$

因此

${\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\approx y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx k=f\left(t+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}\right)$

因為隱式方法的時間對稱性，局部誤差中$h$的偶次項都消去了，局部誤差的階數是＼${\mathcal {O}}(h^{3})$。

相關條目

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• Heun方法
• 蛙跳積分法和韋爾萊積分法

參考資料

• Griffiths, D. V.; Smith, I. M. Numerical methods for engineers: a programming approach. Boca Raton: CRC Press. 1991: 218. ISBN 0-8493-8610-1. 
• Süli, Endre; Mayers, David, An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-00794-1 .
• Burden, Richard; Faires, John. Numerical Analysis. Richard Stratton. 2010: 286. ISBN 978-0-538-73351-9.