仿射空間

仿射空間 （英文: Affine space)，又稱線性流形，是數學中的幾何結構，這種結構是歐式空間的仿射特性的推廣。在仿射空間中，點與點之間做差可以得到向量，點與向量做加法將得到另一個點，但是點與點之間不可以做加法。

仿射空間中沒有特定的原點，因此不能將空間中的每一點和特定的向量對應起來。仿射空間中只有從一個點到另一個點的位移向量，或稱平移向量。如果$X$是仿射空間，$a,b\in X$，那麼從$a$到$b$的位移向量為$b-a$。雖然無法做點與點之間的加法， 但是可以通過仿射組合(係數和為1的線性組合)的方式進行點的變化，仿射組合的係數構成了一個重心坐標 。 所有向量空間都可看作仿射空間。若$X$是向量空間，$L\subseteq X$是向量子空間，$a\in X$, 則$a+L=\{a+l:l\in L\}$是仿射空間。這裡的$a$也稱為平移向量。若向量空間$X$的維度是$n<\infty$，那麼$X$的仿射子空間也可看作一組非齊次線性方程的解；對應的(去掉平移向量的)齊次方程的解是線性子空間，因為齊次方程的解永遠包含零解。維度為$n-1$的仿射空間也叫做仿射超平面。

非正式描述

下面的非正式描述可能比正式的定義更容易理解。仿射空間像是沒有原點的向量空間，其中向量只有方向和大小。假設有甲乙兩人，其中甲知道一個空間中真正的原點，但是乙認為另一個點$p$才是原點。現在求兩個向量$a$和$b$的和。乙畫出$p$到$a$和$p$到$b$的箭頭，然後用平行四邊形找到他認為的向量$a+b$。但是甲認為乙畫出的是向量$p+(a-p)+(b-p)$。同樣的，甲和乙可以計算向量$a$和$b$的線性組合，通常情況下他們會得到不同的結果。然而，請注意：如果線性組合係數的和為1，那麼甲和乙將得到同樣的結果！

圖中Alice為甲,Bob為乙

如果乙從他的原點$p$向$\lambda a+(1-\lambda )b$方向行走， 則從甲的角度來看，乙的行程為$p+\lambda (a-p)+(1-\lambda )(b-p)=\lambda a+(1-\lambda )b$.

仿射空間就是這樣產生的：定義仿射組合為係數和為1的線性組合；甲知道空間的「線性結構」，但是甲和乙都知道空間的「仿射結構」，也就是空間中所有仿射組合的值。 那麼對於所有滿足$\lambda +(1-\lambda )=1$的係數，即使甲乙從不同的原點開始，他們將以同樣的線性組合描述同樣的點。

定義

稱集合 $A$ 是仿射空間，是指其滿足如下性質：

1. 存在一個與之相伴的向量空間 $B$
2. 存在一個映射 $f:{\begin{aligned}A\times B&\to A\\(a,v)\ &\mapsto a+v\end{aligned}}$，且這個映射有如下性質：
   1. 右幺性：$\forall a\in A,a+0_{B}=a$;
   2. 結合律：$\forall \alpha ,\beta \in B,a\in A$ 成立 $(a+\alpha )+\beta =a+(\alpha +\beta )$;
   3. 正則性：給定 $A$ 中的元素$a$, $\exists f_{a}:B\rightarrow A$ 是雙射.

從定義中不難得出集合 $A$ 還具有如下性質:

1. $\forall \alpha \in B,f_{\beta }:a\mapsto a+\alpha$是一個雙射;
2. 減法： $\forall a,b\in A,\exists \alpha \in B$ 使得$b=a+\alpha$, 記這個 $\alpha$ 為 $b-a$.

另一種等價的定義可以表述為：集合 $A$ 是仿射空間, 是指存在某個向量空間$V$, $V$ 在 $A$ 上的作為加法群的群作用是自由且可遷的.

參閱

• 仿射幾何
• 仿射變換
• 仿射群
• 區間測度
• heap (數學)
• 空間 (數學)

參考文獻

• Cameron, Peter J., Projective and polar spaces, QMW Maths Notes 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, 1991 [2010-03-09], MR1153019, （原始內容存檔於2020-07-06） 
• Coxeter, Harold Scott MacDonald, Introduction to Geometry 2nd, New York: John Wiley & Sons, 1969, ISBN 978-0-471-50458-0, MR123930 
• Dolgachev, I.V.; Shirokov, A.P., A/a011100, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Ernst Snapper and Robert J. Troyer, Metric Affine Geometry, Dover Publications; Reprint edition (October 1989)