仿射空间

仿射空间 （英文: Affine space)，又称线性流形，是数学中的几何结构，这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。

仿射空间中没有特定的原点，因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的位移向量，或称平移向量。如果 $X$ 是仿射空间， $a,b\in X$ ，那么从 $a$ 到 $b$ 的位移向量为 $b-a$ 。虽然无法做点与点之间的加法，但是可以通过仿射组合(系数和为1的线性组合)的方式进行点的变化，仿射组合的系数构成了一个重心坐标。所有向量空间都可看作仿射空间。若 $X$ 是向量空间， $L\subseteq X$ 是向量子空间， $a\in X$ , 则 $a+L=\{a+l:l\in L\}$ 是仿射空间。这里的 $a$ 也称为平移向量。若向量空间 $X$ 的维度是 $n<\infty$ ，那么 $X$ 的仿射子空间也可看作一组非齐次线性方程的解；对应的(去掉平移向量的)齐次方程的解是线性子空间，因为齐次方程的解永远包含零解。维度为 $n-1$ 的仿射空间也叫做仿射超平面。

非正式描述

下面的非正式描述可能比正式的定义更容易理解。仿射空间像是没有原点的向量空间，其中向量只有方向和大小。假设有甲乙两人，其中甲知道一个空间中真正的原点，但是乙认为另一个点 $p$ 才是原点。现在求两个向量 $a$ 和 $b$ 的和。乙画出 $p$ 到 $a$ 和 $p$ 到 $b$ 的箭头，然后用平行四边形找到他认为的向量 $a+b$ 。但是甲认为乙画出的是向量 $p+(a-p)+(b-p)$ 。同样的，甲和乙可以计算向量 $a$ 和 $b$ 的线性组合，通常情况下他们会得到不同的结果。然而，请注意：如果线性组合系数的和为1，那么甲和乙将得到同样的结果！

图中Alice为甲,Bob为乙

如果乙从他的原点 $p$ 向 $\lambda a+(1-\lambda )b$ 方向行走，则从甲的角度来看，乙的行程为 $p+\lambda (a-p)+(1-\lambda )(b-p)=\lambda a+(1-\lambda )b$ .

仿射空间就是这样产生的：定义仿射组合为系数和为1的线性组合；甲知道空间的“线性结构”，但是甲和乙都知道空间的“仿射结构”，也就是空间中所有仿射组合的值。那么对于所有满足 $\lambda +(1-\lambda )=1$ 的系数，即使甲乙从不同的原点开始，他们将以同样的线性组合描述同样的点。

定义

称集合 $A$ 是仿射空间，是指其满足如下性质：

存在一个与之相伴的向量空间 $B$
存在一个映射 $f:{\begin{aligned}A\times B&\to A\\(a,v)\ &\mapsto a+v\end{aligned}}$ ，且这个映射有如下性质：
1. 右幺性： $\forall a\in A,a+0_{B}=a$ ;
2. 结合律： $\forall \alpha ,\beta \in B,a\in A$ 成立 $(a+\alpha )+\beta =a+(\alpha +\beta )$ ;
3. 正则性：给定 $A$ 中的元素 $a$ , $\exists f_{a}:B\rightarrow A$ 是双射.

从定义中不难得出集合 $A$ 还具有如下性质:

$\forall \alpha \in B,f_{\beta }:a\mapsto a+\alpha$ 是一个双射;
减法： $\forall a,b\in A,\exists \alpha \in B$ 使得 $b=a+\alpha$ , 记这个 $\alpha$ 为 $b-a$ .

另一种等价的定义可以表述为：集合 $A$ 是仿射空间, 是指存在某个向量空间 $V$ , $V$ 在 $A$ 上的作为加法群的群作用是自由且可迁的.

参阅

参考文献

Cameron, Peter J., Projective and polar spaces, QMW Maths Notes 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, 1991 [2010-03-09], MR 1153019, （原始内容存档于2020-07-06）
Coxeter, Harold Scott MacDonald, Introduction to Geometry 2nd, New York: John Wiley & Sons, 1969, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 123930
Dolgachev, I.V.; Shirokov, A.P., A/a011100, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Ernst Snapper and Robert J. Troyer, Metric Affine Geometry, Dover Publications; Reprint edition (October 1989)