倒向隨機微分方程

倒向隨機微分方程BSDE)是帶有終點條件的隨機微分方程,其解要根據底層濾波進行調整。BSDE自然地出現在各種應用中,如隨機控制金融數學與非線性費曼-卡茨公式[1]

背景

1973年讓-米歇爾·比斯姆提出了BSDE線性情形[2],1990年法國學者Etienne Pardoux英語Etienne Pardoux和中國學者彭實戈合作發表的論文中提出BSDE非線性情形,線性是廣泛的非線性中的一特殊形式[3][4]

數學框架

固定終點時刻 概率空間 。令 布朗運動,其自然濾波 。BSDE是積分方程,其類型為

  1

其中 稱作BSDE的生成器,終點條件  -可測隨機變量,解 包含隨機過程  ,其適應於過濾 

例子

 情形下,BSDE (1)簡化為

  2

 ,則根據鞅表示定理,存在唯一的隨機過程 使  滿足BSDE (2)。

另見

參考文獻

  1. ^ Ma, Jin; Yong, Jiongmin. Forward-Backward Stochastic Differential Equations and their Applications. Lecture Notes in Mathematics 1702. Springer Berlin, Heidelberg. 2007 [2023-11-10]. ISBN 978-3-540-65960-0. doi:10.1007/978-3-540-48831-6. (原始內容存檔於2023-08-09). 
  2. ^ Bismut, Jean-Michel. Conjugate convex functions in optimal stochastic control. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1973, 44 (2): 384–404. doi:10.1016/0022-247X(73)90066-8. 
  3. ^ Pardoux, Etienne; Peng, Shi Ge. Adapted solution of a backward stochastic differential equation. Systems & Control Letters. 1990, 14: 55–61. doi:10.1016/0167-6911(90)90082-6. 
  4. ^ 陳歡歡. 彭实戈院士:倒向随机微分方程理论在金融决策中的应用. news.sciencenet.cn. 科學網. 2008-06-29 [2024-01-07]. (原始內容存檔於2024-01-07). 

閱讀更多

  • Pardoux, Etienne; Rӑşcanu, Aurel. Stochastic Differential Equations, Backward SDEs, Partial Differential Equations. Stochastic modeling and applied probability. Springer International Publishing Switzerland. 2014. 
  • Zhang, Jianfeng. Backward stochastic differential equations. Probability theory and stochastic modeling. Springer New York, NY. 2017.