倒向隨機微分方程
倒向隨機微分方程（BSDE）是帶有終點條件的隨機微分方程，其解要根據底層濾波進行調整。BSDE自然地出現在各種應用中，如隨機控制、金融數學與非線性費曼-卡茨公式。[1]
背景
1973年讓-米歇爾·比斯姆提出了BSDE線性情形[2]，1990年法國學者Etienne Pardoux和中國學者彭實戈合作發表的論文中提出BSDE非線性情形，線性是廣泛的非線性中的一特殊形式[3][4]。
數學框架
固定終點時刻 與概率空間 。令 為布朗運動，其自然濾波 。BSDE是積分方程，其類型為
![{\displaystyle (B_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df3acd3171fe6d3043cf659824788ec54a58c1b)
![{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82e12fc426e0596ce14ce461967be662ade6308)
![{\displaystyle Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}f(s,Y_{s},Z_{s})\mathrm {d} s-\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17180d83e4f78ae7a196811558357512998fd870)
其中 稱作BSDE的生成器，終點條件 是 -可測隨機變量，解 包含隨機過程 、 ，其適應於過濾 。
![{\displaystyle f:[0,T]\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5a07d360c3ab1e651a84d55d3ed4eac4e52574)
![{\displaystyle (Y_{t},Z_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7657e9e989f222e34b2deb255a4865c7a70c8f59)
![{\displaystyle (Y_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000976c421b7bbe36cc923abcd80451ba72e9573)
![{\displaystyle (Z_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1e34758f442803ae3d9a28f0be1441d12622b7)
例子
在 情形下，BSDE (1)簡化為
![{\displaystyle Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ccbb034bf7321f8a155df3736e962d8ddd2c3c)
![{\displaystyle Y_{t}=\mathbb {E} [\xi |{\mathcal {F}}_{t}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a566b1a0bce3de307338be1add02b9b37d5324)
另見
參考文獻
- ^ Ma, Jin; Yong, Jiongmin. Forward-Backward Stochastic Differential Equations and their Applications. Lecture Notes in Mathematics 1702. Springer Berlin, Heidelberg. 2007 [2023-11-10]. ISBN 978-3-540-65960-0. doi:10.1007/978-3-540-48831-6. （原始內容存檔於2023-08-09）.
- ^ Bismut, Jean-Michel. Conjugate convex functions in optimal stochastic control. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1973, 44 (2): 384–404. doi:10.1016/0022-247X(73)90066-8.
- ^ Pardoux, Etienne; Peng, Shi Ge. Adapted solution of a backward stochastic differential equation. Systems & Control Letters. 1990, 14: 55–61. doi:10.1016/0167-6911(90)90082-6.
- ^ 陳歡歡. 彭实戈院士：倒向随机微分方程理论在金融决策中的应用. news.sciencenet.cn. 科學網. 2008-06-29 [2024-01-07]. （原始內容存檔於2024-01-07）.
閱讀更多
- Pardoux, Etienne; Rӑşcanu, Aurel. Stochastic Differential Equations, Backward SDEs, Partial Differential Equations. Stochastic modeling and applied probability. Springer International Publishing Switzerland. 2014.
- Zhang, Jianfeng. Backward stochastic differential equations. Probability theory and stochastic modeling. Springer New York, NY. 2017.