變分是在應用數學與變分法中泛函應對與函數中的微分使用的概念。具體可以分為泛函的變分、函數的變分等。[1]
設極值曲線為 y ^ = y ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {y}}={\hat {y}}(x)} ，可取曲線為 y = y ( x ) {\displaystyle y=y(x)} 。定義 δ y = y ^ − y {\displaystyle \delta {y}={\hat {y}}-y} 為y的一次變分，即函數y的增量。從而可得 δ y ′ = y ^ ′ − y ′ {\displaystyle \delta {y'}={\hat {y}}'-y'}
對隱函數 φ ( x , y ) = 0 {\displaystyle \varphi (x,y)=0} ，其一次變分即為全微分： δ φ = δ y ∂ φ ∂ y + δ x ∂ φ ∂ x {\displaystyle {\delta }{\varphi }=\delta y{\frac {\partial {\varphi }}{\partial {y}}}+\delta x{\frac {\partial {\varphi }}{\partial {x}}}} 。由於x無增量，即 δ x = 0 {\displaystyle \delta x=0} ，故有 δ φ = δ y ∂ φ ∂ y {\displaystyle {\delta }{\varphi }=\delta y{\frac {\partial {\varphi }}{\partial {y}}}} 。
對泛函 min y J ( y ) = ∫ x 0 x 1 F ( x , y ( x ) , y ′ ( x ) ) d x {\displaystyle {\underset {y}{\min }}{J(y)}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y(x),y'(x))dx} ，
可得 J ( y ^ ) − J ( y ) = ∫ x 0 x 1 ( ∂ F ∂ y δ y + ∂ F ∂ y ′ δ y ′ ) d x + O ( δ y ) {\displaystyle J({\hat {y}})-J(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}({\frac {\partial F}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial F}{\partial y'}}\delta y')dx+O(\delta y)} ，其一次變分是其Taylor級數的一次項，即 δ J = ∫ x 0 x 1 ( ∂ F ∂ y δ y + ∂ F ∂ y ′ δ y ′ ) d x {\displaystyle \delta J=\int _{x_{0}}^{x_{1}}({\frac {\partial F}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial F}{\partial y'}}\delta y')dx} ，或直接定義一次變分為 δ J ( y , h ) = d d ε J ( y + ε h ) | ε = 0 {\displaystyle \delta J(y,h)={\frac {d}{d\varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon =0}\,} 。
故其二次變分為其Taylor級數的二次項，即 δ 2 J = 1 2 ∫ x 0 x 1 ( ∂ 2 F ∂ y 2 ( δ y ) 2 + ∂ 2 F ∂ y ∂ y ′ δ y δ y ′ + ∂ 2 F ∂ y ′ 2 ( δ y ′ ) 2 ) d x {\displaystyle \delta ^{2}J={\frac {1}{2}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}({\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}(\delta y)^{2}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial y'}}\delta y\delta y'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}(\delta y')^{2})dx} 。
需要注意，與二階微分 d 2 y = d ( d y ) {\displaystyle d^{2}y=d(dy)} 不同，泛函的二次變分不是對其一次變分再取變分。
計算 J ( y ) = ∫ a b y y ′ d x {\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}yy'dx\,} 的一次變分？
，
，其一次變分是其Taylor級數的一次項，即
，或直接定義一次變分為 
。
。
不同，泛函的二次變分不是對其一次變分再取變分。
的一次變分？
