右連左極函數

數學中,右連左極函數(càdlàg,RCLL)是指定義在實數集或其子集上的處處右連續且有左極限的函數。這類函數在研究有跳躍甚至是需要跳躍的隨機過程時很重要,這類隨機過程不像布朗運動具有連續的樣本軌道。給定定義域上的右連左極函數的集合稱為斯科羅霍德空間(Skorokhod space)。

定義

 
累積分布函數是右連左極函數的一個例子。

 度量空間,並令 。函數 稱為右連左極函數。若對於每一 ,都有

  • 左極限 存在;且
  • 右極限 存在並等於 

  是右連續的且有左極限。

例子

  • 全部連續函數都是右連左極函數。
  • 累積分布函數的定義知所有的累積分布函數都是右連左極函數。

斯科羅霍德空間

  的所有右連左極函數的集合常記為 或簡記為 ,稱為斯科羅霍德空間,是以烏克蘭數學家阿納托利·斯科羅霍德(Anatoliy Skorokhod)的名字命名。斯科羅霍德空間可以被指派一個拓撲結構,這一拓撲直覺上能使我們「稍微蠕動空間和時間」(而傳統的一致收斂拓撲僅允許我們「稍微蠕動空間」)。為了簡化說明,取  (Billingsley的書中描述了更一般的拓撲)

首先我們必須定義連續性模的一個模擬 。對於任意 ,使

 

且對於 ,將右連左極函數模(càdlàg modulus)定義為

 

其中最大下界對所有劃分  都存在,且 。這一定義對於非右連左極函數 是有意義的(就如通常的連續性模對於不連續函數是有意義的)且可以說明 是右連左極函數當且僅當  

這是令 表示從 到自身的所有嚴格遞減的連續雙射函數的集合(這些函數是「對時間的蠕動」)。令

 

表示 上的函數的一致範數。將  上的斯科羅霍德度量(Skorokhod metric) 定義為

 

其中 是恆等函數。以「蠕動」這種直觀感覺來看, 度量了「時間的蠕動」,而 度量了「空間的蠕動」。

我們可以證明斯科羅霍德度量度量的確是度量。由 生成的拓撲 稱為 上的斯科羅霍德拓撲(Skorokhod topology)。

斯科羅霍德空間的性質

一致拓撲的一般化

E 上的連續函數空間CD 的一個子空間。相對應於C 斯科羅霍德拓撲與這裡所述的一致拓撲相一致。

完備性

雖然D 不是關於斯科羅霍德度量σ 的一個完備空間,但是可以證明存在具完備性的關於D拓撲等價度量 σ0

分離性

關於σσ0D可分空間,因此斯科羅霍德空間是波蘭空間

斯科羅霍德空間中的胎緊性

通過應用阿爾澤拉-阿斯科利定理,我們可以證明斯科羅霍德空間D概率測度的一個序列 胎緊的當且僅當同時滿足下列兩個條件:

 

 

代數結構與拓撲結構

在斯科羅霍德拓撲和函數的逐點加法下,D 不是一個拓撲群。

參考文獻