埃爾米特伴隨

數學中,特別是算子理論中,每個內積空間中的線性算子 都個有一個對應的伴隨算子(英語:adjoint operator),記作 ,伴隨算子可由以下關係定義

其中 向量空間中的內積

算子 的伴隨 亦可稱作埃爾米特伴隨(英語:Hermitian adjoint),以夏爾·埃爾米特命名。在物理學,尤其是量子力學中,算子 的埃爾米特伴隨常被記作 狄拉克符號記法)。

有限維向量空間中算子可以以矩陣的形式表示,而伴隨算子的矩陣等於原矩陣的共軛轉置

泛函分析中,上述對伴隨算子的定義可以直接套用於希爾伯特空間中的線性算子

有界算子

假設H是一個希爾伯特空間,帶有內積  。考慮連續線性算子A : HH(這與有界算子相同)。

利用里斯表示定理,我們可以證明存在唯一的連續線性算子

A* : HH具有如下性質:

 ,對所有 

這個算子A* 是A的伴隨。

這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛伴隨矩陣推廣,在標準(復)內積下具有相似的性質。

性質

馬上可得的性質

  1. A** = A
  2. A可逆,則A* 也可逆,且 (A*)−1 = (A−1)*
  3. (A + B)* = A* + B*
  4. A)* = λ* A*,這裡λ* 表示複數λ的復共軛
  5. (AB)* = B* A*

如果我們定義A算子範數

 

 

而且有

 

希爾伯特空間H上有界線性算子與伴隨算子以及算子範數給出一個C*代數例子。

A與它的伴隨的的關係為

 
 

第一個等式的證明:

 

第二個等式由第一個推出,於兩邊取正交空間即可。注意到一般地,像未必是閉的,但連續算子的核總是閉的。

埃爾米特算子

有界算子A: HH稱為埃爾米特或自伴如果

A = A*

這等價於

 

在某種意義下,這種算子起着實數(等於他們的復共軛)的作用。他們在量子力學中作為實值可觀測量的模型。更多細節參見自伴算子一文。

無界算子的伴隨

許多重要的算子不是連續的或只定義在希爾伯特的一個子空間上。在這種情形,我們仍然能定義伴隨,在自伴算子一文有解釋。

其他伴隨

範疇論中,方程

 

形式上類似地定義了伴隨函子偶性質,這也是伴隨函子得名之由來。

又見

參考文獻

  • Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006