多值函數

多值函數(英語:multivalued function, multifunction)為一數學名詞,是一種二元關係。其中,定義域中的每一個元素都對應陪域中的至少一個元素。

圖中的不是真正的函數,因為X集合中的3對應Y集合中的二個元素bc

此名詞來源於複分析,例如復對數函數便是其中一例。函數原本的定義中不允許的元素對應多於一個中的元素;但複分析中,為了作區分,將原來定義的函數稱為單值函數

有些多值函數擁有主分支,而使得多值函數可以轉化為單值函數。此時該單值函數的值稱為主值principal value)。

例子

  • 每個大於0的實數都有二個實數的平方根,例如4的平方根是{−2, +2}.,0的平方根是0。
  • 一般而言,許多不為0的複數都有二個平方根、三個立方根、n個n次方根,只有0的n次方根為0。
  • 複對數函數是多值函數。   為實數)的值是 ,其中 為任意整數。 .
  • 反三角函數為週期性的多值函數,例如
 
因此,arctan(1)在本質上會對應許多數值:π/4, 5π/4, −3π/4等。若限制其tan x的定義域在π/2 < x < π/2,此區域下tan x為單純遞增,則arctan(x)的值域會在π/2 < y < π/2。這種限定區域下的值稱為主值英語Principal value
  • 不定積分也可以視為是多值函數,函數f的不定積分是一個函數的集合,集合中的每一個函數微分後都是f,因此不定積分存在一積分常數,因為積分常數不論本身數值多少,微分後都是0。

所有的多值函數都是來自非單射的函數,因為原始函數無法完全保存其輸入的資訊,因此函數也就不可逆。

複變函數的多值函數會有分支點英語branch point,例如n次方根以及對數函數中,0是分支點,而arctan函數中,虛數單位i和−i為分支點。利用分支點可以限定範圍的方式,將這些函數重新定義為單值函數。若是在實函數的例子中,這個限制的區域一般會稱為函數的主分支。

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參考資料