多重線性映射

線性代數中,多重線性映射是有多個向量變量而對每個變量都是線性的函數

n個變量的多線性映射也叫做n重線性映射。

如果所有變量屬於同一個空間,可以考慮對稱反對稱和交替的n重線性映射。後兩個是一致的,如果底層的環(或域)有不同於二的特徵,否則前兩個是一致的。

一般討論可見多重線性代數

例子

n×n矩陣上多重線性映射

可以考慮在有單位元的交換環K上的n×n矩陣上的多重線性函數為矩陣的行(或等價說列)上的函數。設A是這樣的矩陣而 , 1 ≤ inA的行。則多重線性函數D可以寫為

 

滿足

 

如果我們設 表示單位矩陣的第j行,我們用下列方法表示 

 

利用D的多線性我們重寫DA)為

 

繼續這種代換於每個 我們得到,對於1 ≤ in

 

所以D(A)是唯一的決定自它如何運算於 上。

2×2矩陣的情況下我們得到

 

這裡的  。如果我們限制D是交替函數,則  。設 我們得到在2×2矩陣上行列式函數:

 

性質

多重線性映射有零值,只要它的一個參數是零。

對於n>1,唯一的也是線性映射的n-線性映射是零函數

參見