在线性代数中,多重线性映射是有多个向量变量而对每个变量都是线性的函数。
n个变量的多线性映射也叫做n重线性映射。
如果所有变量属于同一个空间,可以考虑对称、反对称和交替的n重线性映射。后两个是一致的,如果底层的环(或域)有不同于二的特征,否则前两个是一致的。
一般讨论可见多重线性代数。
例子
在n×n矩阵上多重线性映射
可以考虑在有单位元的交换环K上的n×n矩阵上的多重线性函数为矩阵的行(或等价说列)上的函数。设A是这样的矩阵而 , 1 ≤ i ≤ n是A的行。则多重线性函数D可以写为
- ,
满足
- ,
如果我们设 表示单位矩阵的第j行,我们用下列方法表示
-
利用D的多线性我们重写D(A)为
-
继续这种代换于每个 我们得到,对于1 ≤ i ≤ n
-
所以D(A)是唯一的决定自它如何运算于 上。
在2×2矩阵的情况下我们得到
- ,
这里的 且 。如果我们限制D是交替函数,则 且 。设 我们得到在2×2矩阵上行列式函数:
- ,
性质
多重线性映射有零值,只要它的一个参数是零。
对于n>1,唯一的也是线性映射的n-线性映射是零函数。
参见