完全豪斯多夫空間

在拓撲學中，完全豪斯多夫空間或 Urysohn 空間是滿足比熟知的豪斯多夫空間更強些的分離公理的一類拓撲空間。

定義

假定 X 是拓撲空間。設 x 和 y 是 X 中的點。

• 我們稱 x 和 y 可以由閉鄰域分離，如果存在 x 的閉鄰域 U 和 y 的閉鄰域 V 使得 U 和 V 是不相交的 (U ∩ V = ∅)。(注意 x 的閉鄰域是包含含有 x 的開集的閉集。)
• 我們稱 x 和 y 可以由函數分離，如果存在連續函數 f : X → [0,1] (單位區間) 帶有 f(x) = 0 和 f(y) = 1。

Urysohn 空間或 T_2½ 空間是其中任何兩個獨特的點都可由閉鄰域分離的空間。

完全豪斯多夫空間或函數豪斯多夫空間是其中任何兩個獨特的點都可由函數分離的空間。

命名約定

分離公理研究因為命名約定混亂而聲名狼籍。本文使用的定義是 Willard (1970)給出的更現代的定義。Steen 和 Seebach (1970)和不同的其他作者反轉了完全豪斯多夫空間和 Urysohn 空間的定義，拓撲學課本的讀者必須確保檢查作者的定義。詳情可參見分離公理的歷史。

與其他分離公理的聯繫

容易實習證實可以由函數分離的任何兩個點也可以被閉鄰域分離。如果它們可以由閉鄰域分離則明顯的它們可以由鄰域分離。這得出了所有完全豪斯多夫空間是 Urysohn 空間而所有 Urysohn 空間是豪斯多夫空間。

還可以證明所有正則豪斯多夫空間是 Urysohn 空間，而所有吉洪諾夫空間(完全正則豪斯多夫空間)是完全豪斯多夫空間。這可總結為下列蘊涵:

吉洪諾夫 (T3½)	$\Rightarrow$	正則豪斯多夫 (T3)
$\Downarrow$		$\Downarrow$
完全豪斯多夫	$\Rightarrow$	Urysohn (T2½)	$\Rightarrow$	豪斯多夫 (T2)	$\Rightarrow$	T1

你可以找到反例證明這些蘊涵都是不可反轉的。

例子

余可數擴張拓撲是在實直線上的拓撲，由平常歐幾里德拓撲和余可數拓撲的併集生成。集合是這個拓撲中的開集，當且僅當他們有形式 U \ A，這裡的 U 是有歐幾里德拓撲中的開集而 A 是可數的。這個空間是完全豪斯多夫和 Urysohn 的，但不是正則的(因此不是吉洪諾夫的)。

有是豪斯多夫但不是 Urysohn，是 Urysohn 但不是完全豪斯多夫或正則豪斯多夫的空間的晦澀的例子。詳情可參見 Steen 與 Seebach。

引用

• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
• Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).
• Completely Hausdorff. PlanetMath.