實變函數論

實分析,也稱為實數分析實變函數論(英語:Real analysis、英語:Theory of functions of a real variable),是處理實數實函數數學分析。專門研究實數函數數列的解析特性,包括實數數列的極限,實函數的微分積分連續性光滑性以及其他相關性質。

方波傅立葉級數的前四項。傅立葉級數是實分析的一項重要工具

實分析常以基礎集合論,函數概念定義等等開始。

內容

實數的構造

有許多種將實數定義為有序域的方式。合成的作法會提供許多實數的公理,將實數變成完備有序。在一般集合論的公理下,可以證明這些公理都是明確的,也就是說有一個公理的模型,任兩個模型都是同構的。這些模型中需要有一個有明確的定義,而大部份的模型都可以用實數為有序域時的基本性質來得到。

實數的有序性

實數有許多重要的特性是和數學中的定義有關,這些性質也是複數所沒有的。其中最重要的是,實數形成有序域,實數的有序滿足反對稱性、傳遞性及完全性,屬於全序關係,而且實數有最小上界性。實數中的偏序關係帶來了實變分析中許多重要的定理,例如單調收斂定理介值定理中值定理

在實變分析中這些定理只針對實數,不過許多的結果可以應用在其他的數學對象。特別是許多泛函分析算子理論英語operator theory中的概念是來自實數中概念的擴展,這類的擴展包括里斯空間英語Riesz space正算子英語positive operator的理論。也有數學家考慮複數數列的實部及虛部,例如算子數列的逐點評估英語strong operator topology

序列

序列是一個定義域可數全序集合的函數,多半會讓定義域是自然數或是所有整數[1]。例如,一個實數的序列為以下定義的映射 ,常會表示為 。若一序列會慢慢的接近一個極限(也就是存在  ),稱此序列為收斂,否則則稱此序列為發散

極限

極限是指函數序列在其輸入接近一定值時,其輸出數值所接近的特定定值[2]。極限是微積分學及廣義數學分析的基礎,連續函數導數積分也是利用極限來定義。

連續函數

函數的輸入及輸出值都是實數,可以表示成笛卡兒坐標系上的圖形。粗略來說,若函數圖形是一條連續未分割的曲線,其中沒有「洞」或是「斷點」,函數即為連續函數。

針對上述粗略的定義,在數學上有許多嚴謹的定義。這些定義彼此是等價的,因此會用最簡單而方便的定義來確認一個函數是否是連續,在以下的定義中

 

是一個定義在實數 以內子集的函數,子集 稱為函數 的定義域。子集 的一些可能選擇包括 (所有實數)、以下的開區間

 

閉區間

 

因此  是實數。

一致連續是連續函數中,比連續函數更強的性質。若XY實數子集,函數 一致連續的條件是針對所有大於0的實數 ,存在一實數 ,使得針對所有的 即表示 

一致連續和每一點連續的差異在一致連續時, 值只和 值有關,和該值在定義域中的位置無關。一般情況下,連續不意味著均勻連續。

級數

給定一無窮序列  ,即可定義相關的級數為 ,有時會簡稱為 。級數的部份和  。級數 收斂的條件是部份和的數列 收斂,否則級數即稱為發散。收斂級數的和 定義為 .

等比數列的和就是一個收斂級數,也是芝諾悖論的基礎:

 .

以下的調和級數即為發散級數:

 .

(此處「 」不是嚴謹的表示方式,只是表示部份和會無限制地増長)

微分

函數  位置的導數為以下的函數極限

 

若導數在所有位置都存在,稱函數為可微分,可以再繼續計算函數的高階導數。

也可以將函數依其微分分類來區分。分類 包括所有連續函數,分類 包括所有導數連續的可微函數,這類函數稱為「連續可微」。分類 是指其導數在分類 中的函數。一般來說,分類 可以用遞歸方式定義,定義方式是宣告分類 是所有的連續函數,而分類  為正整數)是所有可微,而且其導數為 的函數。而分類 包括在分類 中,對所有的正整數 都成立。分類 是所有 的交集,其中 為所有的非負整數。 包括所有的解析函數,是分類 的嚴格子集。

積分

黎曼積分

黎曼積分定義函數的黎曼和,對應為一個區間內的標記分區(tagged partitions)。令 為實數下的封閉區間,則在區間 內的標記分區為有限數列

 

將區間 分隔為 個下標為 子區間 ,每一個用不同的點 來標記。函數f對應標記分區的黎曼和定義為

 

則和的每一項都是長方形的面積,其高為函數在給定子區間內,標示點的數值,寬和子區間的寬相等。令 為子區間 的寬,則標記分區的網格為長子區間中最寬區間的寬度 。函數 在區間 內的黎曼積分等於 若:

對所有 ,存在 使得,對於任何有標示,且網格小於 的區間 ,以下的式子成立
 

若選定的標示都是每個區間內函數的最大值(或最小值),黎曼積分就會成為上(或下)達布和,因此黎曼積分和達布積分有緊密的關係。

勒貝格積分

勒貝格積分是一種積分概念,可以將積分延伸到更大範圍的函數,同時也拓展函數的定義域

分布

分布或是廣義函數是一種將函數擴展後產生的概念。透過分布可以針對一些在傳統定義下其導數不存在的函數進行微分(例如單位階躍函數)。而任何局部可積函數都一定會有廣義函數下的導數。

和複變分析的關係

實變函數論是數學分析的一部份,探討像數列及其極限、連續性、函數的導數積分。實變分析專注在實數,多半會包括正負無窮大以形成擴展實軸。實變分析和研究複數對應性質的複分析緊密相關。在複分析中,很自然的會對全純函數定義導數,全純函數有許多有用的性質,包括多次可微、可以用冪級數表示,而且滿足柯西積分公式

實變分析中也很自然的去考慮可微光滑函數調和函數,這些也常常用到,不過仍少了一些複變中全純函數中有力的性質。而且代數基本定理若以複數表示時會比較簡單。

複變中解析函數理論的技巧也可以用在實變分析,例如應用留數定理來計算實變函數的定積分

重要結果

實分析的重要結果包括波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理海涅-博雷爾定理介值定理中值定理微積分基本定理單調收斂定理

實分析的許多概念可以擴展到廣義的度量空間,包括巴拿赫空間希爾伯特空間

相關條目

參考資料

  1. ^ Gaughan, Edward. 1.1 Sequences and Convergence. Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 0-8218-4787-2. 
  2. ^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5.