對數恆等式

在數學中，有許多對數恆等式。

代數恆等式

簡化計算

對數可以用來簡化計算。例如，兩個數可以只通過查表和相加而得到乘積。

$\,\log _{\theta }xy=\log _{\theta }x+\log _{\theta }y$	對應到	$\,\theta ^{x}\theta ^{y}=\theta ^{x+y}$
$\log _{\theta }{\frac {x}{y}}=\log _{\theta }x-\log _{\theta }y$		${\frac {\theta ^{x}}{\theta ^{y}}}=\theta ^{x-y}$
$\,\log _{\theta }x^{y}=y\log _{\theta }x$		$\,({\theta ^{x}})^{y}=\theta ^{xy}$
$\log _{\theta }{\sqrt[{y}]{x}}={\frac {\log _{\theta }x}{y}}$		${\sqrt[{y}]{x}}=x^{\frac {1}{y}}$
$\,\log _{\theta }-x=\log _{\theta }x+\pi i\log _{\theta }e$		歐拉恆等式：$\,e^{\pi i}+1=0$

消去指數

同底的對數和指數會彼此消去。這是因為對數和指數是互逆運算（就像乘法和除法那樣）。

$b^{\log _{b}(x)}=x$	因為	$\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,$
$\log _{b}(b^{x})=x\!\,$	因為	$\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,$

換底公式

$\log _{\theta }x={\frac {\log _{\phi }x}{\log _{\phi }\theta }}$

在計算器上計算對數時需要用到這個公式。例如，大多數計算器有ln和log₁₀的按鈕，但卻沒有$\log _{2}$的。要計算$\log _{2}(3)$，只有計算${\frac {\log _{10}(3)}{\log _{10}(2)}}$。

這個公式有許多推論：

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

$\log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}$

$a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$

$\log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},\,$

${\pi (n)}$是下標$1,\ldots ,n$的任意的排列。例如

$\log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.\,$

和/差公式

下面的和/差規則對概率論中的對數化概率的計算非常有用：

$\log _{\theta }(\mathrm {X} \pm \Upsilon )=\log _{\theta }\mathrm {X} +\log _{\theta }\left(1\pm {\frac {\Upsilon }{\mathrm {X} }}\right)$

普通恆等式

$\log _{b}(1)=0\!\,$	因為	$b^{0}=1\!\,$
$\log _{b}(b)=1\!\,$	因為	$b^{1}=b\!\,$

注意$\log _{b}(0)\!\,$無定義，因為沒有一個數$x\!\,$使$b^{x}=0\!\,$成立。

微積分恆等式

極限

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a<1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a<1$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0$

$\lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0$

最後一個極限經常被總結為「$x$的對數增長得比$x$的任何次方或方根都慢」。

對數函數的導數

${d \over dx}\ln x={1 \over x}={\ln e \over x}$

積分定義

$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$

對數函數的積分

$\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$

為了記憶積分，可以方便的定義：

$x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})$

$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}$

$x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}$

於是，

${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}$

$\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$

求大數的近似數

對數恆等式可以用來求大數的近似數。 假設我們要得到第44個梅森質數$2^{32582657}-1$的近似值。先取對數（$-1$被忽略），$2^{32582657}$以10為底的對數等於 32,582,657 與$\log _{10}(2)$的乘積，計算得到$9808357.09543=9808357+0.09543$。再取指數消去對數，得到最後結果為 $10^{9808357}\times 10^{0.09543}\approx 1.25\times 10^{9808357}$.

類似地，階乘的結果可以用每項的對數之和來近似。