對數恆等式

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數學中,有許多對數恆等式

代數恆等式

簡化計算

對數可以用來簡化計算。例如,兩個數可以只通過查表和相加而得到乘積。

  對應到  
   
   
   
  歐拉恆等式 

消去指數

同底的對數和指數會彼此消去。這是因為對數和指數是互逆運算(就像乘法和除法那樣)。

  因為  
  因為  

換底公式

 

在計算器上計算對數時需要用到這個公式。例如,大多數計算器有lnlog10的按鈕,但卻沒有 的。要計算 ,只有計算 [註 1]


這個公式有許多推論:

1.倒數公式

 

2.底數n次 對數1/n倍

 

3.上下對調公式

 



和/差公式

下面的和/差規則對概率論中的對數化概率的計算非常有用:

 [註 2]

普通恆等式

  因為  
  因為  

注意 無定義,因為沒有一個數 使 成立。

微積分恆等式

 
 
 
 
 
 

最後一個極限經常被總結為「 的對數增長得比 的任何次方或方根都慢」。[註 3]

對數函數的導數

 

積分定義

 

對數函數的積分

 

為了記憶積分,可以方便的定義:

 
 
 
 
 

於是,

 
 

求大數的近似數

對數恆等式可以用來求大數的近似數。 假設我們要得到第44個梅森質數 的近似值。先取對數( 被忽略), 以10為底的對數等於 32,582,657 與 的乘積,計算得到 。再取指數消去對數,得到最後結果為  .

類似地,階乘的結果可以用每項的對數之和來近似。

注釋

  1. ^  ,兩者結果一樣
  2. ^ 在使用時如果 ,等式右邊的  必須互換。在 時,因為0的對數無定義,所以此時減法等式無定義。
  3. ^ 說函數的極限「等於無窮大」是不嚴密的,因為「無窮大」不是數。上面右邊是無窮大的等式的意思是,函數可以無限制的增加/減少。