抽象解析數論

抽象解析數論（abstract analytic number theory）是數學的一個分支，把傳統的解析數論的觀點和方法應用於各種不同的數學領域中。以經典的素數定理為原型，重點關注抽象漸進分布的結果。該理論由數學家John Knopfmacher，Arne Beurling等人提出。

算術半群

該理論涉及到一個基本概念，算術半群，是滿足以下性質的交換幺半群G：

G有一個可數子集P，使得G中的每個元素 $a\neq 1$ 有唯一分解 $a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ ，其中 $p_{i}$ 是P中不同的元素， $\alpha _{i}$ 是正整數，並且不考慮順序。P的元素稱為G的素元（prime）。
存在G上的實值映射 $|\cdot |:G\to \mathbb {R}$ ，稱為範數（norm），使得
1. $|1|=1$
2. 對任意 $p\in P$ ， $|p|>1$
3. 對任意 $a,b\in G$ ， $|ab|=|a||b|$
4. 對任意實數 $x>0$ ，G中範數不超過x的元素的總個數是有限的。即 $N_{G}(x)=\#\{a\in G:|a|\leq x\}$

加法數系

若算術半群的底部幺半群G是自由的，則稱為加法數系（additive number system）。

若範數是整數值的，則可以在G上定義計數函數 $a(n)$ 和 $p(n)$ ，其中 $p(n)$ 是P中範數為n的元素的個數， $a(n)$ 是G中範數為n的元素的個數。令 $A(x)=\sum _{n}{a(n)x^{n}},\quad P(x)=\sum _{n}{p(n)x^{n}}$ 為對應的形式冪級數。可得基本恆等式

$A(x)=\prod _{n}{(1-x^{n})^{-p(n)}}$

G的收斂半徑定義為冪級數A(x)的收斂半徑。

基本恆等式還有另一種形式

$A(x)=\exp \left({\sum _{m\geq 1}{\frac {P(x^{m})}{m}}}\right)$

例子

算術半群的原型是正整數的乘法半群 $\mathbb {Z} _{+}=\{1,2,3,\cdots \}$ ，素元就是通常的素數 $P=\{2,3,5,\cdots \}$ 。範數就是 $|n|=n$ ，因此 $N_{G}(x)=\lfloor x\rfloor$ ，即不超過x的最大整數。
設K是一個代數數域，即有理數域 $\mathbb {Q}$ 的有限擴張，K中的整數組成環 $O_{K}$ ，則 $O_{K}$ 的所有非零理想組成的集合G是算術半群，單位元是 $O_{K}$ ，理想 $I$ 的範數等於商環 $O_{K}/I$ 的基數。這種情況下，與素數定理對應的推廣就是蘭道素理想定理（英語：Landau prime ideal theorem），描述了 $O_{K}$ 中的理想的漸進分布。

方法與技巧

算術函數與ζ函數的用處十分廣泛。可以將傳統的解析數論中算術函數與ζ函數的各種方法和技巧，推廣到任意的算術半群上（可能還要滿足幾個附加的公理）。例如下面公理：

A公理：存在正數A與 $\delta$ ，以及常數 $\nu \ (0\leq \nu <\delta )$ ，使得 $N_{G}(x)=Ax^{\delta }+O(x^{\nu }),\ x\to \infty$ 。

對任何滿足A公理的算術半群，有以下抽象素數定理：

$\pi _{G}(x)\sim {\frac {x^{\delta }}{\delta \log {x}}},\ x\to \infty$

其中 $\pi _{G}(x)$ 是P中滿足 $|p|\leq x$ 的元素p的總個數。

另見

A公理，動力系統的一種性質

參考文獻

Burris, Stanley N. (2001). Number theoretic density and logical limit laws. Mathematical Surveys and Monographs. 86. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2666-2. Zbl 0995.11001.
Knopfmacher, John (1990) [1975]. Abstract Analytic Number Theory (2nd ed.). New York, NY: Dover Publishing. ISBN 0-486-66344-2. Zbl 0743.11002.
Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge studies in advanced mathematics. 97. p. 278. ISBN 0-521-84903-9. Zbl 1142.11001.