抽象解析數論

抽象解析數論(abstract analytic number theory)是數學的一個分支,把傳統的解析數論的觀點和方法應用於各種不同的數學領域中。以經典的素數定理為原型,重點關注抽象漸進分佈的結果。該理論由數學家John Knopfmacher,Arne Beurling等人提出。

算術半群

該理論涉及到一個基本概念,算術半群,是滿足以下性質的交換么半群G:

  • G有一個可數子集P,使得G中的每個元素 有唯一分解 ,其中 是P中不同的元素, 是正整數,並且不考慮順序。P的元素稱為G的素元(prime)。
  • 存在G上的實值映射 ,稱為範數(norm),使得
    1.  
    2. 對任意  
    3. 對任意  
    4. 對任意實數 ,G中範數不超過x的元素的總個數是有限的。即 

加法數系

若算術半群的底部么半群G是自由的,則稱為加法數系(additive number system)。

若範數是整數值的,則可以在G上定義計數函數  ,其中 是P中範數為n的元素的個數, 是G中範數為n的元素的個數。令 為對應的形式冪級數。可得基本恆等式

 

G的收斂半徑定義為冪級數A(x)的收斂半徑

基本恆等式還有另一種形式

 

例子

  • 算術半群的原型是正整數的乘法半群 ,素元就是通常的素數 。範數就是 ,因此 ,即不超過x的最大整數。
  • 設K是一個代數數域,即有理數域 的有限擴張,K中的整數組成環 ,則 的所有非零理想組成的集合G是算術半群,單位元是 ,理想 的範數等於商環 的基數。這種情況下,與素數定理對應的推廣就是蘭道素理想定理英語Landau prime ideal theorem,描述了 中的理想的漸進分佈。

方法與技巧

算術函數與ζ函數的用處十分廣泛。可以將傳統的解析數論中算術函數與ζ函數的各種方法和技巧,推廣到任意的算術半群上(可能還要滿足幾個附加的公理)。例如下面公理:

  • A公理:存在正數A與 ,以及常數 ,使得 

對任何滿足A公理的算術半群,有以下抽象素數定理

 

其中 是P中滿足 的元素p的總個數。

另見

  • A公理,動力系統的一種性質

參考文獻

  • Burris, Stanley N. (2001). Number theoretic density and logical limit laws. Mathematical Surveys and Monographs. 86. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2666-2. Zbl 0995.11001.
  • Knopfmacher, John (1990) [1975]. Abstract Analytic Number Theory (2nd ed.). New York, NY: Dover Publishing. ISBN 0-486-66344-2. Zbl 0743.11002.
  • Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge studies in advanced mathematics. 97. p. 278. ISBN 0-521-84903-9. Zbl 1142.11001.