條件期望

在概率論中，條件期望是一個實數隨機變量的相對於一個條件概率分布的期望值。換句話說，這是給定的一個或多個其他變量的值一個變量的期望值。它也被稱為條件期望值或條件均值。

條件期望的概念在柯爾莫哥洛夫的測度理論概率論的定義很重要。條件概率的概念是由條件期望來定義的。

計算

設$X$和$Y$是離散隨機變量，則$X$在給定事件$Y=y$條件時的條件期望是$x$的在$Y$的值域的函數

$\operatorname {E} (X|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} (X=x|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ {\frac {\operatorname {P} (X=x,Y=y)}{\operatorname {P} (Y=y)}},$

其中，${\mathcal {X}}$是處於$X$的值域。

如果現在$X$是一個連續隨機變量，而$Y$仍然是一個離散變量，條件期望是：

$\operatorname {E} (X|Y=y)=\int _{\mathcal {X}}xf_{X}(x|Y=y)dx$

其中，$f_{X}(\,\cdot \,|Y=y)$是在給定$Y=y$下$X$的條件概率密度函數。

正式的定義

給定$X$是一個定義在概率空間$(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},P)$上的隨機變量，${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {F}}_{0}$是${\mathcal {F}}$的一個子σ-代數，且$E|X|<\infty$。 則定義$X$在給定${\mathcal {F}}$下的條件期望$E(X|{\mathcal {F}})$是滿足以下兩個條件的隨機變量$Y$：

1. $Y$是${\mathcal {F}}$上的可測函數；
2. $\forall A\in {\mathcal {F}}:\int _{A}XdP=\int _{A}YdP$。

在這一定義下，$E(X|{\mathcal {F}})$是存在且在幾乎必然的意義下唯一的。

參看

• 全概率公式
• 全期望公式
• 聯合分布

外部連結

• （英文）Ushakov, N.G., Conditional mathematical expectation, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4