条件期望

在概率论中，条件期望是一个实数随机变量的相对于一个条件概率分布的期望值。换句话说，这是给定的一个或多个其他变量的值一个变量的期望值。它也被称为条件期望值或条件均值。

条件期望的概念在柯尔莫哥洛夫的测度理论概率论的定义很重要。条件概率的概念是由条件期望来定义的。

计算

设$X$和$Y$是离散随机变量，则$X$在给定事件$Y=y$条件时的条件期望是$x$的在$Y$的值域的函数

$\operatorname {E} (X|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} (X=x|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ {\frac {\operatorname {P} (X=x,Y=y)}{\operatorname {P} (Y=y)}},$

其中，${\mathcal {X}}$是处于$X$的值域。

如果现在$X$是一个连续随机变量，而$Y$仍然是一个离散变量，条件期望是：

$\operatorname {E} (X|Y=y)=\int _{\mathcal {X}}xf_{X}(x|Y=y)dx$

其中，$f_{X}(\,\cdot \,|Y=y)$是在给定$Y=y$下$X$的条件概率密度函数。

正式的定义

给定$X$是一个定义在概率空间$(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},P)$上的随机变量，${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {F}}_{0}$是${\mathcal {F}}$的一个子σ-代数，且$E|X|<\infty$。 则定义$X$在给定${\mathcal {F}}$下的条件期望$E(X|{\mathcal {F}})$是满足以下两个条件的随机变量$Y$：

1. $Y$是${\mathcal {F}}$上的可测函数；
2. $\forall A\in {\mathcal {F}}:\int _{A}XdP=\int _{A}YdP$。

在这一定义下，$E(X|{\mathcal {F}})$是存在且在几乎必然的意义下唯一的。

参看

• 全概率公式
• 全期望公式
• 联合分布

外部链接

• （英文）Ushakov, N.G., Conditional mathematical expectation, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4