特殊酉群

在數學中，$n$ 階特殊酉群（英語：special unitary group），記作 $\operatorname {SU} (n)$，是行列式為 1 的 $n\times n$ 酉矩陣組成的群（一般酉矩陣的行列式是絕對值為1的複數）。群運算是矩陣乘法。特殊酉群是由 $n\times n$ 酉矩陣組成的酉群 $\operatorname {U} (n)$ 的一個子群，酉群又是一般線性群 $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C}$) 的一個子群。

群 $\operatorname {SU} (n)$ 在粒子物理中標準模型中有廣泛的應用，特別是 $\operatorname {SU} (2)$ 在電弱相互作用與 $\operatorname {SU} (3)$ 在量子色動力學中。

最簡單的情形 $\operatorname {SU} (1)$，是平凡群，只有一個元素。群 $\operatorname {SU} (2)$ 同構於範數為 $1$ 的四元數，從而微分同胚於三維球面。因為單位四元數可表示三維空間中的旋轉（差一個符號），我們有一個滿同態從 $\operatorname {SU} (2)$ 到旋轉群 $\operatorname {SO} (3)$，其核為 $\{+I,-I\}$。

性質

特殊酉群 SU(n) 是一個 n²-1 維實矩陣李群。在拓撲上是緊及單連通的。在代數上，它是一個單李群（意為它的李代數是單的，見下）。SU(n) 的中心同構於循環群 Z_n。當 n ≥ 3，它的外自同構群是 Z₂，而 SU(2) 的外自同構群是平凡群。

SU(n) 代數由 n² 個算子生成，滿足交換關係（對 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）：

$\left[{\hat {O}}_{ij},{\hat {O}}_{kl}\right]=\delta _{jk}{\hat {O}}_{il}-\delta _{il}{\hat {O}}_{kj}$

另外，算子

${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {O}}_{ii}$

滿足

$\left[{\hat {N}},{\hat {O}}_{ij}\right]=0$

這意味着 SU(n) 獨立的生成元個數是 n²-1。

生成元

一般地，SU(n) 的無窮小生成元（infinitesimal generator） T，由一個無跡埃爾米特矩陣表示。即

• $\operatorname {tr} (T_{a})=0,\,$

以及

• $T_{a}=T_{a}^{\dagger }.\,$

基本表示

在定義或基本表示中，由 $n\times n$ 矩陣表示的生成元是：

• $T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{(if_{abc}+d_{abc})T_{c}}\,$

這裡係數 $f$ 是結構常數，它對所有指標都是反對稱的，而係數 $d$ 對所有指標都是對稱的。

從而

• $\left[T_{a},T_{b}\right]_{+}={\frac {1}{n}}\delta _{ab}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}T_{c}}\,$
• $\left[T_{a},T_{b}\right]_{-}=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{f_{abc}T_{c}}\,$

我們也有

• $\sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}\,$

作為一個正規化約定。

伴隨表示

在伴隨表示中，生成元表示由 $(n^{2}-1)\times (n^{2}-1)$ 矩陣表示，其元素由結構常數定義：

• $(T_{a})_{jk}=-if_{ajk}\,$

SU(2)

$\operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )$ 一個一般矩陣元素形如

$U={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}$

這裡 $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ 使得 $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$。我們考慮如下映射 $\varphi :\mathbb {C} ^{2}\to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$，（這裡 $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ 表示 2×2 復矩陣集合），定義為

$\varphi (\alpha ,\beta )={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}.$

考慮到 $\mathbb {C} ^{2}$ 微分同胚於 $\mathbb {R} ^{4}$ 和 $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ 同胚於 $\mathbb {R} ^{8}$，我們可看到 $\varphi$ 是一個實線性單射，從而是一個嵌入。現在考慮 $\varphi$ 限制在三維球面上，記作 $S^{3}$，我們可發現這是三維球面到 $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ 的一個緊子流形的一個嵌入。但顯然有 $\varphi (S^{3})=\operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )$，作為一個流形微分同胚於 $\operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )$，使 $\operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )$ 成為一個緊連通李群。

現在考慮李代數 ${\mathfrak {su}}_{2}(\mathbb {C} )$，一個一般元素形如

$U'={\begin{pmatrix}ix&-{\overline {\beta }}\\\beta &-ix\end{pmatrix}}$

這裡 $x\in \mathbb {R}$ 以及 $\beta \in \mathbb {C}$。易驗證這樣形式的矩陣的跡是零並為反埃爾米特的。從而李代數由如下矩陣生成

$u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\qquad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}$

易見它具有上面提到的一般元素的形式。它們滿足關係 $u_{3}u_{2}=-u_{2}u_{3}=u_{1}$ 和 $u_{2}u_{1}=-u_{1}u_{2}=u_{3}$。從而交換子括號由

$[u_{1},u_{3}]=2u_{2},\qquad [u_{2},u_{1}]=2u_{3},\qquad [u_{3},u_{2}]=2u_{1}.$

確定。上述生成元與泡利矩陣有關，$u_{1}=i\sigma _{1}$, $u_{2}=-i\sigma _{2}$ 及 $u_{3}=i\sigma _{3}$。

SU(3)

SU(3) 的生成元 T，在定義表示中為

$T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{\sqrt {2}}}.\,$

這裡 $\lambda \,$ 為蓋爾曼矩陣，是 SU(2) 泡利矩陣在 SU(3) 之類比：

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

注意它們都是無跡埃爾米特矩陣。

它們服從關係

• $\left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}\,$

這裡 f 是結構常數，如上所定義，它們的值為

$f^{123}=1\,$

$f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,$

$f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,$

d 的取值：

$d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$

$d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,$

$d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}\,$

李代數

$\mathrm {SU} (n)$ 對應的李代數記作 ${\mathfrak {su}}(n)$。它的標準數學表示由無跡反埃爾米特 $n\times n$ 復矩陣組成，以通常交換子為李括號。粒子物理學家通常增加一個因子 $i$，從而所有矩陣成為埃爾米特的。這只不過是同一個實李代數一個不同的更方便的表示。注意 ${\mathfrak {su}}(n)$ 是 $\mathbb {R}$ 上一個李代數。

例如，下列量子力學中使用的矩陣組成 ${\mathfrak {su}}(2)$ 在 $\mathbb {R}$ 上的一組基：

$i\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}$

$i\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}$

$i\sigma _{z}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}$

（這裡 $i$ 是虛數單位。）

這個表示經常用於量子力學（參見泡利矩陣以及蓋爾曼矩陣）表示基本粒子比如電子的自旋。它們也作為我們三維空間量子相對論描述中的單位向量。

注意任意兩個不同生成元的乘積是另一個生成元，以及生成元反交換。與單位矩陣（乘以 $i$）一起

$iI_{2}={\begin{bmatrix}i&0\\0&i\end{bmatrix}}$

它們也是 ${\mathfrak {su}}(2)$ 的生成元。

當然這裡它取決於我們最終處理的問題，比如在非相對論量子力學中為 2-旋量；或在相對論狄拉克理論中，我們需要到 4-旋量的一個擴張；或在數學中甚至是克利福德代數。

註：在矩陣乘法下（在此情形是反交換的），生成克利福德代數 $\mathrm {Cl} _{3}$，而在交換子括號下生成李代數 ${\mathfrak {su}}(2)$。

回到一般的 $\mathrm {SU} (n)$：

如果我們選擇（任意）一個特定的基，則純虛數無跡對角 $n\times n$ 矩陣子空間組成一個 $n-1$ 維嘉當子代數。

將這個李代數復化，從而現在允許任何無跡 $n\times n$ 矩陣。權本徵向量是嘉當子代數自己，只有一個非零元素的矩陣不是對角的。儘管嘉當子代數 $\mathrm {h}$ 只是 $n-1$ 維，但為了化簡計算，經常引入一個輔助元素，與所有元素交換的單位矩陣（它不能視為這個李代數的一個元素）。故我們有一個基，其中第 $i$ 個基向量是在第 $i$ 個對角元素為 $1$ 而在其它處為零的矩陣。則權由 $n$ 個坐標給出，而且在所有 $n$ 個坐標求和為零（因為單位矩陣只是輔助的）。

故 $\mathrm {SU} (n)$ 的秩是 $n-1$，它的鄧肯圖由 $A_{n-1}$ 給出，有 $n-1$ 個頂點的鏈。

它的根系由 $n(n-1)$ 個根組成，生成一個 $n-1$ 歐幾里得空間。這裡，我們使用 $n$ 冗餘坐標而不是 $n-1$ 坐標來強調根系的對稱（$n$ 坐標之和為零）。換句話說，我們是將這個 $n-1$ 維向量空間嵌入 $n$-維中。則根由所有 $n(n-1)$ 置換 $(1,-1,0,\dots ,0)$。兩段以前的構造解釋了為什麼。單根的一個選取為

$(1,-1,0,\dots ,0)$,

$(0,1,-1,\dots ,0)$,

…,

$(0,0,0,\dots ,1,-1)$.

它的嘉當矩陣是

${\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}$.

它的外爾群或考克斯特群是對稱群 $S_{n}$，$(n-1)$-單形的對稱群。

廣義特殊酉群

對一個域 F，F 上廣義特殊酉群 SU(p,q;F)，F 上一個秩為 n=p+q 的向量空間上使得一個符號為 (p,q) 的非退化埃爾米特形式不變的所有行列式為 1 線性變換組成的群。這個么正群經常稱為 F 上符號為 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以換為一個交換環，在這種情形向量空間換為自由模。

特別地，固定 GL(n,R) 中一個符號為 (p,q) 的埃爾米特矩陣，則所有

$M\in SU(p,q,R)$

滿足

$M^{*}AM=A\,$

$\det M=1.\,$

經常可以見到記號 $SU_{p,q}$ 略去環或域，在這種形式環或域是指 C，這給出一個典型李群。當 F=C 時，A 的標準選取是

$A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.$

對某些維數 A 可能有更好的選擇，當限制為 C 的一個子環時有更好表現。

例子

這類群的一個重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i])，（射影地）作用在二度復雙曲空間上，同樣地 SL(2,Z) （射影地）作用在二維實雙曲空間上。2003年，Gábor Francsics 與彼得·拉克斯算出了這個群在 $HC^{2}$ 上作用的基本域，參見 [1]。

另一個例子是 SU(1,1;C)，同構於 SL(2,R)。

重要子群

在物理學中，特殊酉群用於表示波色對稱。在對稱性破缺理論中尋找特殊酉群的子群很重要。在大一統理論中 SU(n) 重要的子群是，對 p>1，n-p>1：

$SU(n)\supset SU(p)\times SU(n-p)\times U(1).$

為了完整性，還有正交與辛子群：

$SU(n)\supset O(n)$

$SU(2n)\supset USp(2n).$

因為 SU(n) 的秩是 n-1，U(1) 是 1，一個有用的檢驗是看子群的秩是小於還是等於原來群的秩。SU(n) 是多個其它李群的子群：

$SO(2n)\supset SU(n)$

$USp(2n)\supset SU(n)$

$Spin(4)=SU(2)\times SU(2)$（參見自旋群）

$E_{6}\supset SU(6)$

$E_{7}\supset SU(8)$

$G_{2}\supset SU(3)$（關於 E₆, E₇ 與 G₂ 參見單李群）。

有同構 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。

最後值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆疊群，這個關係在非相對論量子力學 2-旋量的旋轉中起着重要的作用。

相關條目

• SU(2)的表示論
• 射影特殊酉群 PSU(n)
• 埃爾米特矩陣
• 辛矩陣
• 酉群
• 酉算子
• 矩陣分解

參考文獻

• Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2. 
• Maximal Subgroups of Compact Lie Groups （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

外部連結

• Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）