皮亞諾存在性定理

定理

數學中, 特別是在常微分方程的研究中,皮亞諾存在定理(又稱為皮亞諾定理柯西-皮亞諾定理)是以數學家朱塞佩·皮亞諾的名字命名的一個定理。這個定理是常微分方程研究中的基本定理之一,保證了微分方程在一定的初始條件下的解的存在性。

歷史

這個定理最早由數學家朱塞佩·皮亞諾在1886年發表,但是他給出的證明是錯誤的。1890年他又發表了一個正確的運用逐次逼近法的證明。

定理

DR × R 的一個開子集,以及一個連續函數

 

皮亞諾存在定理:定義在 D 上的一個一階線性常微分方程(其中  

 
 

必然有局部解。也就是說,必定存在一個關於  鄰域 I,以及一個函數:

 
滿足 

相關定理

皮亞諾存在定理可以和另外一個存在性定理皮卡-林德洛夫定理作比較。相比起皮亞諾存在定理,皮卡-林德洛夫定理對函數   的要求更嚴格,但結論也更強。皮卡-林德洛夫定理要求函數   局部地滿足利普希茨條件,也就是說在任意一點 x 的附近,都有一個常數   和一個鄰域  ,使得對於 中任意的  兩點,都有:

 

這個要求比單純的連續性要高,但是得出的結論也更強了:皮卡-林德洛夫定理說明,在滿足上述要求時,微分方程的局部解不僅存在而且是唯一的。

例子

 為一個常數,考慮函數

 ,其定義域設為  

根據皮亞諾存在定理,由於函數  上連續,微分方程有解。但由於   在0處的導數為正無窮,  上不滿足利普希茨條件,於是解不一定是唯一的。事實上:對於任意的 ,定義為:當  ,當   的函數   都是微分方程的解,也就是說解有無窮多個。這個反例來源於一個物理模型:假設有一個漏水的容器,其水面高度(函數 )和時間的關係由以上的微分方程定義的話,那麼由於事實上可以觀測到漏水的過程,所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水後的某個時刻的狀態( )的話,是無法倒過來推測原來的水位有多高的(也就是說沒有唯一解)。

參考來源

  • G. Peano, Sull』integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 677–685.
  • G. Peano, Demonstration de l』intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182–228.
  • W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
  • E.A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955.