立方數指可以寫成的數,當中必為整數。立方數是邊長立方體體積。作為算術用語的「立方」,表示任何數的三次,可用³(Unicode字元179)來表示。

平方數不同,立方數可存在負數

若將立方數概念擴展到有理數,則兩個立方數的比仍然是立方數,例如, (2 × 2 × 2) / (3 × 3 × 3) = 8/27 = 2/3×2/3×2/3。

若一個整數沒有除了 1 之外的立方數為其因數,則稱其為無立方數因數的數

首十二個立方數OEISA000578為:1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, ...(第零個是0

雖然形狀不同,每個立方數第個立方數同時都是第六角錐數,即首中心六邊形數之和。

立方數和

 個正立方數之和為 ,即第 三角形數平方

每個整數均可表示成9個或以下的正立方數之和。(華林問題

1939年,狄克森證明只有23239需要用9個正立方數的和來表示。

亞瑟·韋伊費列治證明只有15個整數須用8個:15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454 A018889

的士數士的數都指最小能表示成兩個立方數之和的數,但的士數的必須為正數,士的數則無此限。(見1729

只有一組連續三個立方數之和亦是立方數,就是3, 4, 5的立方,其和等於6的立方。

十進制,除了1之外,僅有4個的正整數其數字立方之和等同它本身,它們為153, 370, 371, 407,他們是 自戀數。這4個三位數,亦可視為將它的數字分成三份,每份的立方之和,相似性質的整數有無限個,如165033, 221859, 336700等( A056733)。

性質

涉及立方數和的問題

 的整數解

  1. 方程 除了有4組解 以外,是否還有其它整數解?
  2. 方程 有整數解 [1]
  3. 方程 有整數解 [2]
  4. 方程 是否有整數解?

其他

  • 立方質數的定義為 ,其中  

參見

註釋

  1. ^ 因為n與(n+1)差1,所以兩數互質,故若n×(n+1)為立方數,則n與(n+1)也皆為立方數,2個立方數差1,則必為0與1,因此唯一的普洛尼克數兼立方數為0=0×1。
  2. ^ 連續若干個(剛好兩個)數的積是普洛尼克數


外部連結

參考文獻

  1. ^ Booker, Andrew R., Cracking the problem with 33 (PDF), University of Bristol, 2019 [2019-07-01], (原始內容存檔 (PDF)於2021-02-14) 
  2. ^ Prof. Booker. Life, the Universe, and Everything. [2019-09-07]. (原始內容存檔於2020-05-11).