索博列夫不等式

在數學分析中有一類關於索博列夫空間中的範數的索博列夫不等式（英語：Sobolev inequality; 俄語：Соболев неравенство）。這些不等式可以用於證明索博列夫嵌入定理，給出某些索博列夫空間的包含關係。而Rellich-Kondrachov定理（英語：Rellich–Kondrachov theorem）指出在稍強的條件下，一些索博列夫空間可以被緊嵌入（英語：Compact embedding）到另一個空間。這類不等式得名於蘇聯數學家謝爾蓋·利沃維奇·索博列夫。

索博列夫嵌入定理

令 $W k,p (R n)$ 表示包含 $R n$ 上所有滿足前k階弱導數屬於 $L p$ 的實值函數的索博列夫空間。其中k是非負整數且有 $1 \leq p < \infty$ 。索博列夫嵌入定理的第一部分指出如果 $k > ℓ$ 且 $1 \leq p < q < \infty$ 滿足 $(k - ℓ) p < n$ 和

{\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {k-\ell }{n}},

那麼

W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq W^{\ell ,q}(\mathbf {R} ^{n})

並且該嵌入連續。在 $k = 1$ 且 $ℓ = 0$ 的特殊情形，索博列夫嵌入定理給出

W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})

其中 $p *$ 是p的索博列夫共軛（英語：Sobolev conjugate），如下給出

{\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}.

這個索博列夫嵌入定理的特例可由Gagliardo–Nirenberg–索博列夫不等式直接得出。

索博列夫嵌入定理的第二部分用於嵌入到Hölder空間 $C r,α (R n)$ 。如果 $(k - r - α)/ n = 1/ p$ 其中 $α \in (0, 1)$ ，則有嵌入

W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).

索博列夫嵌入的這個部分可由Morrey不等式直接得出。直觀的說，這種包含關係表示足夠高階的弱導數存在性意味着一些經典導數的連續性。

推廣

索博列夫嵌入定理對於有其他適當定義域M的索博列夫空間W^k,p(M)也成立。特別的^[1]^[2]，索博列夫嵌入的兩個部分在滿足下列條件時成立

M是 $R n$ 上有利普希茨邊界（Lipschitz boundary）的有界開集（或者邊界滿足錐條件^[3]）
M是緊黎曼流形
M是有利普希茨邊界的緊帶邊黎曼流形
M是滿足單射半徑 $δ > 0$ 且截面曲率有界的完備黎曼流形。

Kondrachov嵌入定理

在有 $C 1$ 邊界的緊流形上，Kondrachov嵌入定理指出如果 $k > ℓ$ 且 $k - n / p > ℓ - n / q$ 則索博列夫嵌入

W^{k,p}(M)\subset W^{\ell ,q}(M)

是全連續（緊）的。

Gagliardo–Nirenberg–索博列夫不等式

假設u是 $R n$ 上擁有緊支集的連續可微實值函數。對於 $1 \leq p < n$ 存在常數C只依賴於n和p使得

\|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}.

其中1/p* = 1/p - 1/n。 $1<p<n$ 的情形由索博列夫給出， $p=1$ 的情形由Gagliardo和Nirenberg獨立給出。Gagliardo–Nirenberg–索博列夫不等式可以直接導出索博列夫嵌入

W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n}).

$R n$ 上其他階的嵌入可由適當的迭代得到。

Hardy–Littlewood–索博列夫引理

索博列夫給出的索博列夫嵌入定理的最初的證明基於如下定理，有時被稱為Hardy–Littlewood–索博列夫分數次積分定理。一個等價陳述被稱為索博列夫引理^[1]^[4]。

令 $0 < α < n$ 且 $1 < p < q < \infty$ 。令 $I α = (-Δ) - α /2$ 是 $R n$ 上的Riesz勢。那麼，對於q如下定義

q={\frac {pn}{n-\alpha p}}

存在常數C只依賴於p使得

\left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.

如果 $p = 1$ ，則有兩個替代估計。第一個是更經典的弱估計：

m\left\{x:\left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C\left({\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}\right)^{q},

其中 $1/ q = 1 - α / n$ 。另一個估計是

$\left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|Rf\|_{1},$

{\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}.

其中 $Rf$ 是向量值Riesz變換^[5]。Riesz變換的有界性意味着一族不等式可由上述不等式統一表達。

Hardy–Littlewood–索博列夫引理導出索博列夫嵌入本質上是利用Riesz變換和Riesz勢的關係。

Morrey不等式

假設 $n < p \leq \infty$ 。存在常數C只依賴於p和n，使得

\|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}

W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).

對所有 $u \in C 1 (R n) \cap L p (R n)$ ，其中

\gamma =1-{\frac {n}{p}}.

因此如果 $u \in W 1, p (R n)$ ，則u在一個零測集上重新定義後，實際上為指數γ的Hölder連續。

一個類似的結果在帶有C¹邊界的有界定義域U上成立。此時，

\|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}

其中常數C現在依賴於 $n, p$ 和U。這一不等式可由前一不等式利用從 $W 1, p (U)$ 到 $W 1, p (R n)$ 的保范延拓得到。

一般索博列夫不等式

令U為 $R n$ 上帶有 $C 1$ 邊界的有界開集。（U也可以無界，但這種情況下，它的邊界如果存在，則必須是充分好的。）假設 $u \in W k,p (U)$ ，考慮兩種情況：

$k < n / p$

這時 $u \in L q (U)$ ，其中

{\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}.

有估計

\|u\|_{L^{q}(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}

,

常數C只依賴於 $k, p, n$ 和U。

$k > n / p$

這裡u屬於Hölder空間，更精確的：

u\in C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U),

其中

\gamma ={\begin{cases}\left[{\frac {n}{p}}\right]+1-{\frac {n}{p}}&{\frac {n}{p}}\notin \mathbf {Z} \\{\text{any element in }}(0,1)&{\frac {n}{p}}\in \mathbf {Z} \end{cases}}

有估計

\|u\|_{C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)},

常數C只依賴於 $k, p, n, γ$ 和U。

p=n, k=1 情形

如果 $u\in W^{1,n}(\mathbf {R} ^{n})$ ，則u是有界平均振動函數且有

\|u\|_{BMO}\leq C\|Du\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})},

對於某個常數C只依賴於n。這個估計是龐加萊不等式的推論。

納什不等式

納什不等式，由約翰·納什^[6]引入，指出存在一個常數 $C > 0$ ，滿足對所有 $u \in L 1 (R n) \cap W 1,2 (R n)$ ,

\|u\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbf {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}.

這個不等式由傅立葉變換的基本性質導出。實際上，在半徑為ρ的球的補集上的積分，

\int _{|x|\geq \rho }\left|{\hat {u}}(x)\right|^{2}\,dx\leq \int _{|x|\geq \rho }{\frac {|x|^{2}}{\rho ^{2}}}\left|{\hat {u}}(x)\right|^{2}\,dx\leq \rho ^{-2}\int _{\mathbf {R} ^{n}}|Du|^{2}\,dx

1

由帕塞瓦爾定理。另一方面，有

|{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}

，在半徑為ρ的球上的積分給出

\int _{|x|\leq \rho }|{\hat {u}}(x)|^{2}\,dx\leq \rho ^{n}\omega _{n}\|u\|_{L^{1}}^{2}

2

其中 $ω n$ 是n維球的體積。選擇ρ最小化(1)和(2)的和，再次使用帕塞瓦爾定理：

\|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}

給出不等式。

在 $n = 1$ 的特殊情形，納什不等式可以擴展到 $L p$ 情形，此時是Gagliardo-Nirenberg-索博列夫不等式的推廣。實際上，如果I是有界區間，則對所有 $1 \leq r < \infty$ 和所有 $1 \leq q \leq p < \infty$ 如下不等式成立

\|u\|_{L^{p}(I)}\leq C\|u\|_{L^{q}(I)}^{1-a}\|u\|_{W^{1,r}(I)}^{a},

其中

a\left({\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}+1\right)={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}.

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 Aubin, Thierry, Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Ampère equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 252, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90704-8, MR 0681859
^ Aubin, Thierry, Espaces de Sobolev sur les variétés riemanniennes, Bulletin des Sciences Mathématiques. 2e Série, 1976, 100 (2): 149–173, ISSN 0007-4497, MR 0488125
^ Adams, Robert A., Sobolev spaces, Pure and Applied Mathematics, 65., New York-London: Academic Press: xviii+268, 1975, ISBN 978-0-12-044150-1, MR 0450957
^ Stein, Elias, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1970, ISBN 0-691-08079-8
^ Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean, An L^1-type estimate for Riesz potentials, arXiv:1411.2318 
^ Nash, J., Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations, Amer. J. Math. (American Journal of Mathematics, Vol. 80, No. 4), 1958, 80 (4): 931–954, JSTOR 2372841, doi:10.2307/2372841

Brezis, Haïm, Analyse fonctionnelle : théorie et applications, Paris: Masson, 1983, ISBN 0-8218-0772-2
Evans, Lawrence, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998, ISBN 0-8218-0772-2
Leoni, Giovanni (2009), A First Course in Sobolev Spaces （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. xvi+607 ISBN 978-0-8218-4768-8, MR2527916 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Zbl 1180.46001 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, MAA （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
Vladimir G., Maz'ja, Sobolev spaces, Springer Series in Soviet Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, 1985 , Translated from the Russian by T. O. Shaposhnikova.
Nikol'skii, S.M., Imbedding theorems, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

[Aubin1982-1] 1.0 ^1.1 Aubin, Thierry, Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Ampère equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 252, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90704-8, MR 0681859

[Aubin1976-2] Aubin, Thierry, Espaces de Sobolev sur les variétés riemanniennes, Bulletin des Sciences Mathématiques. 2e Série, 1976, 100 (2): 149–173, ISSN 0007-4497, MR 0488125

[Adams1975-3] Adams, Robert A., Sobolev spaces, Pure and Applied Mathematics, 65., New York-London: Academic Press: xviii+268, 1975, ISBN 978-0-12-044150-1, MR 0450957

[Stein-4] Stein, Elias, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1970, ISBN 0-691-08079-8

[Schikorra-5] Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean, An L^1-type estimate for Riesz potentials, arXiv:1411.2318 

[Nash-6] Nash, J., Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations, Amer. J. Math. (American Journal of Mathematics, Vol. 80, No. 4), 1958, 80 (4): 931–954, JSTOR 2372841, doi:10.2307/2372841

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]