限制 (數學)

在數學中，映射的限制 $f$ 是一個新的映射，記作 $f\vert _{A}$ 或者 $f{\upharpoonright _{A}}$ ，它是通過為原來的映射 $f$ 選擇一個更小的定義域 $A$ 來得到的。反過來，也稱映射 $f$ 是映射 $f\vert _{A}$ 的擴張。

正式定義

設 $f:E\to F$ 是一個集合 $E$ 到集合 $F$ 的映射。如果 $A$ 是 $E$ 的子集，那麼稱滿足

$$\forall x\in A,\quad {f|}_{A}(x)=f(x)$$

的映射

$${f|}_{A}:A\to F$$

是映射 $f$ 在 $A$ 上的限制。不正式地說， ${f|}_{A}$ 是和 $f$ 相同的映射，但只定義在 $A$ 上。

如果將映射 $f$ 看作一種在笛卡爾積 $E\times F$ 上的關係 $(x,f(x))$ ，然後 $f$ 在 $A$ 上的限制可以用它的圖像來表示：

$G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),$

其中 $(x,f(x))$ 表示圖像 $G$ 中的有序對。

擴張

映射 $F$ 稱為另一映射的 $f$ 的擴張，當且僅當 $F{\big \vert }_{\operatorname {Dom} (f)}=f$ 。也就是說同時滿足下面兩個條件：

1. 屬於 $f$ 之定義域的 $x$ 必然也在 $F$ 的定義域中，即 $\operatorname {Dom} (f)\subseteq \operatorname {Dom} (F)$ ；
2. $f$ 和 $F$ 在它們共同的定義域上的行為相同，即$\forall x\in \operatorname {Dom} (f),\quad f(x)=F(x)$ 。

具有特定性質的擴張

數學上經常需要將一個具有指定性質的映射的定義域擴大，並要求擴張後的結果仍具有該性質，但擴張後。如尋找一個線性映射 $f$ 的擴張映射 $F$ ，且 $F$ 仍是線性的，這時說 $F$ 是 $f$ 的一個線性擴張，或者說；尋找一個連續映射 $f$ 的擴張映射 $F$ ，且 $F$ 仍連續，則稱為進行了連續擴張；諸如此類。

具有特定性質的擴張可能是唯一的，這時則不必給出擴張映射 $F$ 的詳細定義，如稠密子集到豪斯多夫空間的映射的連續擴張。

例子

1. 非單射函數 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\ x\mapsto x^{2}$ 在域$\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ 上的限制是$f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ ，而這是一個單射。
2. 將Γ函數限制在正整數集上，並將變量平移 $1$ ，就得到階乘函數： ${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$ 。

限制的性質

• 映射 $f:X\rightarrow Y$ 在其整個定義域 $X$ 上的限制即是原函數，即 $f|_{X}=f$ 。
• 對一個映射在限制兩次與限制一次效果相同，只要最終的定義域一樣。也就是說，若 $A\subseteq B\subseteq \operatorname {Dom} (f)$ ，則 $\left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}$ 。
• 集合 $X$ 上的恆等映射在集合 $A$ 上的限制即是 $A$ 到 $X$ 的包含映射。
• 連續函數的限制是連續的。

應用

反函數

更多資訊：反函數

定義域為 $\mathbb {R}$ 的函數 $x^{2}$ 沒有反函數。若考慮 $x^{2}$ 到非負實數的限制，則它有一個反函數，稱為平方根 $x$ 。

若某函數存在反函數，其映射必為單射。若映射 $f$ 非單射，可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如：

　　$f(x)=x^{2}$

因為 $x^{2}=(-x)^{2}$，故非單射。但若將定義域限制到 $x\geq {0}$ 時該映射為單射，此時有反函數

　　$f^{-1}(y)={\sqrt {y}}$

（若限制定義域至 $x\leq {0}$，輸出 $y$ 的負平方根的函數為反函數。）另外，若允許反函數為多值函數，則無需限制原函數的定義域。

粘接引理

更多資訊：粘接引理

點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。

設拓撲空間 $A$ 的子集 $X,\ Y$ 同時為開或閉，且滿足 $A=X\cup {Y}$，設 $B$ 為拓撲空間。若映射 $f:A\to {B}$ 到 $X$ 及 $Y$ 的限制都連續，則 $f$ 也是連續的。

基於此結論，粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數，可以得到一個新的連續函數。

層

主條目：層 (數學)

層將函數的限制推廣到其他物件的限制。

層論中，拓撲空間$X$的每個開集$U$，有另一個範疇中的物件$F(U)$與之對應，其中要求$F$滿足某些性質。最重要的性質是，若一個開集包含另一個開集，則對應的兩個物件之間有限制態射，即若$V\subseteq U$，則有態射$\mathrm {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)$，且該些態射應仿照函數的限制，滿足下列條件：

1. 對$X$的每個開集$U$，限制態射$\mathrm {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)$為$F(U)$上的恆等態射。
2. 若有三個開集$W\subseteq V\subseteq U$，則複合$\mathrm {res} _{W,V}\circ \mathrm {res} _{V,U}=\mathrm {res} _{W,U}$。
3. （局部性）若$(U_{i})$為某個開集$U$的開覆蓋，且$s,t\in F(U)$滿足：對所有$i$，$s\upharpoonright _{U_{i}}=t\upharpoonright _{U_{i}}$，則$s=t$。
4. （黏合) 若$(U_{i})$為某個開集$U$的開覆蓋，且對每個$i$，給定截面$s_{i}\in F(U_{i})$，使得對任意兩個$i,j$，都有$s_{i},s_{j}$在定義域重疊部分重合（即$s_{i}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}$），則存在截面$s\in F(U)$使得對所有$i$，$s\upharpoonright _{U_{i}}=s_{i}$。

所謂拓撲空間$X$上的層，就是該些物件$F(U)$和態射$\mathrm {res} _{V,U}$組成的整體$(F,\mathrm {res} )$。若僅滿足前兩項條件，則稱為預層。