Β分佈,亦稱貝它分佈、Beta 分佈(Beta distribution),在機率論中,是指一組定義在
區間的連續機率分佈,有兩個母數
。
Β分佈
機率密度函數 ![Probability density function for the Beta distribution](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Beta_distribution_pdf.svg/325px-Beta_distribution_pdf.svg.png) |
累積分佈函數 ![Cumulative distribution function for the Beta distribution](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Beta_distribution_cdf.svg/325px-Beta_distribution_cdf.svg.png) |
參數 |
![{\displaystyle \beta >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a87dc52878418173659e6d0ff8e77ab2897eac9) |
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值域 |
![{\displaystyle x\in (0;1)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d0ef7a9136c64d36b1b8e2bcee82c3f8ad7d5f) |
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機率密度函數 |
![{\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125fdaa41844a8703d1a8610ac00fbf3edacc8e7) |
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累積分佈函數 |
![{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630767808887e1bd81c51a75934e8a196907bb93) |
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期望值 |
![{\displaystyle \operatorname {E} [x]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0569ee58528ca526f9cdab57675a2d0d73bf4766)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\ln x]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a2d06fc2308f395e3dbaed6bb7d0b975d38eb1) (見雙伽瑪函數) |
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中位數 |
無解析表達 |
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眾數 |
for ![{\displaystyle \alpha >1,\beta >1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f1e017514157062ecc289c4042d17d99a1b77f) |
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變異數 |
![{\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f3678db794b6d247e588b602bf565763dcb462) |
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偏度 |
![{\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ec71817c032c8eb21b5feadd0ec9b91c747530) |
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峰度 |
見文字 |
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熵 |
見文字 |
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動差母函數 |
![{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97b0e33f3134c2fc5c484016ab8e03e18d85481) |
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特徵函數 |
(見合流超幾何函數) |
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定義
機率密度函數
Β分佈的機率密度函數是:
-
其中 是Γ函數。如果 為正整數,則有:
-
隨機變量X服從參數為 的Β分佈通常寫作
-
累積分佈函數
Β分佈的累積分佈函數是:
-
其中 是不完全Β函數, 是正則不完全貝塔函數。
性質
參數為 Β分佈的眾數是:
- [1]
期望值和方差分別是:
-
-
偏度是:
-
峰度是:
-
或:
-
階矩是:
-
其中 表示遞進階乘冪。 階矩還可以遞歸地表示為:
-
另外,
-
給定兩個Β分佈隨機變量, X ~ Beta(α, β) and Y ~ Beta(α', β'), X的微分熵為:[2]
-
其中 表示雙伽瑪函數。
聯合熵為:
-
其KL散度為:
-
參見
外部連結
參考文獻
- ^ Johnson, Norman L., Samuel Kotz, and N. Balakrishnan (1995). "Continuous Univariate Distributions, Vol. 2", Wiley, ISBN 978-0-471-58494-0.
- ^ A. C. G. Verdugo Lazo and P. N. Rathie. "On the entropy of continuous probability distributions," IEEE Trans. Inf. Theory, IT-24:120–122,1978.