六面體

6個面的多面體

幾何學中,六面體是指由組成的多面體。所有面都全等、所有邊等長且所有角相等的六面體稱為正六面體。幾何學上的正六面體是立方體,由6個正方形組成,但在抽象幾何學中有另外一種具有6個面的正多面體,是由6個正五邊形組成的半十二面體,但其為抽象多胞形不具有體積。其他亦存在所有面都全等但其他條件未必符合正多面體的形狀,例如雙三角錐和菱形六面體。其他也存在許多不規則的六面體,例如四角錐台、五角錐等。

六面體
部分的六面體
三方偏方面體
三方偏方面體
五角錐
五角錐
四角柱
四角柱
雙三角錐
雙三角錐

常見的六面體

常見的六面體有正方體四角柱五角錐雙三角錐三方偏方面體

長方體

六個面都是矩形的六面體稱為長方體,長方體具有每個二面角相等和每個三面角相等等特性。

平行六面體

六個面都是平行四邊形的六面體稱為平行六面體。當六個面都是菱形時,則具有等邊多面體的性質,此時稱為菱形六面體

六面體列表

名稱 圖像 頂點 面的種類 對稱性 展開圖
立方體
正多面體
  8 12 6 6個正方形  Oh, [4,3], (*432)
order 48
 
長方體   8 12 6 6個矩形  D2h, [2,2], (*222)
order 8
 
四角柱
柱體群
  8 12 6 2個四邊形 
4個矩形 
D4h, [4,2], (*422), order 16
五角錐
錐體群
  6 10 6 1個五邊形 
5個三角形 
C5v, [5], (*55)  
四角錐台   8 12 6 2個四邊形 
4個梯形 
C4v, [4], (*44)
order 8
菱形六面體   8 12 6 6個菱形  D3d, [2+,6], (2*3)
order 12
三方偏方面體   8 12 6 6個四邊形  D3, [2,3]+, (223)
order 6
雙三角錐   5 9 6 6個三角形  D3h, [3,2], (*223) order 12  
平行六面體   8 12 6 6個平行四邊形  Ci, [2+,2+], (×)
order 2
平行六面體
(由菱形組成)
 
十二面體半形   10 15 6 6個五邊形  A5, order 60
皮特里正十二面體   20 30 6 6個扭歪十邊形  A5×C2, with 120 elements
皮特里正二十面體   12 30 6 6個扭歪十邊形 
六面形   2 6 6 6個二角形  D6h(*666)
二角反稜柱   4 8 6 2個二角形 
4個三角形
D2d, [2+,4], (2*2), order 8

非凸六面體

非凸六面體
 
面的種類:4.4.3.3.3.3
10條邊、 6個頂點
 
面的種類:5.5.3.3.3.3
11條邊、 7個頂點
 
面的種類:6.6.3.3.3.3
12條邊、 8個頂點

退化六面體

部份六面體包含退化的面或者本身已經退化至無法擁有體積的形式。例如二角反稜柱,其2個底面為二角形,因此退化成一條稜、更進一步的退化六面體有六面形,其由6個二角形組成,本身已退化至無法擁有體積的形式,僅能以球面鑲嵌的形式存在。

二角反稜柱

二角反稜柱,又稱反二角柱是指底面為二角形的反稜柱,由於其兩個底面皆為二角形,因此這兩個面已退化成一條稜,若不計這兩個退化的底面,則這個立體與四面體無異。在球面幾何學中,二角反稜柱可以作為球面鑲嵌,此時二角形的面能夠在求面上已非退化的形式存在,而確保整個立體為六個面組成的立體,此時的二角反稜柱由2個球面二角形和4個球面三邊形構成,共有6個面、8條邊和4個頂點,並且可以視為扭稜的二面形或二角形二面體,在施萊夫利符號中可以用sr{2,2}來表示。

 
二角反稜柱。上方及下方紅色的線段為退化的二角形底面。若不計這兩個退化底面,則整個立體與四面體無異
 
作為球面鑲嵌的二角反稜柱。計入二面形面時,二角反稜柱是一種六面體

六面形

 
六面形的球面鑲嵌形式

六面形是一種多面形,為退化的六面體,無法擁有體積,由六個二角形組成。在球面幾何學中,六面形可以在球面上以鑲嵌的方式存在,表示六個鑲嵌在球體上的球弓形英語Spherical lune施萊夫利符號中利用{2,6}來表示,其對偶多面體是六邊形二面體

六面形由六個二角形組成,每個頂點都是六個二角形的公共頂點。正六面形的每個面都是正二角形,且每個頂點都是六個正二角形的公共頂點,因此正六面形也可以視為一種正多面體,但是因為其已退化,因此不會與柏拉圖立體一同討論。

六面形具有D6h, [2,6], (*226)的對稱性和D6, [2,6]+的旋轉對稱性,且階數為24,在考克斯特符號中用     表示,其對稱性與六角柱相同,因此六角柱也可以視為一種與六面形相關的立體,因為六角柱可以經由六面形透過截角變換構造。

拓樸學中的六面體

在所有凸六面體當中,共有七種拓樸結構有明顯差異的凸六面體[1][2][3][4][5] 。其中有2中互為鏡射像

拓樸結構有明顯差異的凸六面體
 
雙三角錐
36
9 E, 5 V
  
四角反楔體。 有一個手性鏡像
面的種類:4.4.3.3.3.3
10條邊, 6個頂點
 
面的種類:4.4.4.4.3.3
11條邊, 7個頂點
 
五角柱
面的種類:5.35
10條邊, 6個頂點
 
面的種類:5.4.4.3.3.3
11條邊, 7個頂點
 
面的種類:5.5.4.4.3.3
12條邊, 8個頂點

參考文獻

  1. ^ Anatole Beck, Michael Bleicher, Donald Crowe. Excursions into Mathematics: 29–30. 1969. 
  2. ^ Counting polyhedra頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) numericana.com [2016-1-10]
  3. ^ Martin Gardner. Denkspiele von anderen Planeten. München: Hugendubel. 1986: 134. ISBN 3-88034-295-4. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. (編). Hexahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  5. ^ Gardner, M. "Find the Hexahedrons." §19.9 in Martin Gardner's New Mathematical Diversions from Scientific American. New York: Simon and Schuster, pp. 224-225 and 233, 1966.

外部連結