向量空間

向量空間是一群可縮放相加的數學實體(如實數甚至是函數)所構成的特殊集合,其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量,而向量空間正是線性代數的主要研究物件。

線性代數
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣
向量空間是可以縮放和相加的(叫做向量的)對象的集合

正式定義

給定   和某集合   ,它們具有了以下兩種運算函數):[1]

  • 向量加法   (其中   慣例上簡記為  
  • 純量乘法   (其中   慣例上簡記為   甚至是  

且這兩種運算滿足:(特別注意      是本身具有的加法和乘法)

名稱 前提條件 內容
向量加法 單位元反元素 存在   的元素   對所有    
且存在   使得  
結合律 對所有    
交換律 對所有    
純量乘法 單位元 對所有     乘法單位元,則  
對向量加法的分配律 對所有   和所有    
對體加法的分配律 對所有   和所有    
與體乘法  

這樣稱 「   為定義在   上的向量空間」,而   裏的元素   被稱為向量;體   裏的元素   被稱為純量。這樣體   就是囊括所有純量的集合,所以為了解說方便,有時會將   暱稱為純量體或是純量母空間。在不跟體的加法混淆的情況下,向量加法   也可以簡寫成  

前四個條件規定  交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「   是個體,且   是一個  」。

基本性質

以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。

定理 (1) — 向量加法的單位元是唯一的。

以上的定理事實上繼承自群的單位元唯一性。這樣的話,可以仿造群的習慣以記號   代表「向量加法   的唯一單位元」,並稱之為  零向量

在不跟純量的加法單位元   混淆的情況下,零向量   也可以簡寫成  

定理 (2) — 任意向量的向量加法反元素是唯一的。

以上的定理事實上繼承自群的反元素唯一性,這樣的話,可以仿造群的習慣以   代表「向量   在向量加法   下的唯一反元素」,甚至可以把   簡記為   ,並暱稱為向量減法。在不跟純量的加法混淆的情況下,   也可記為    也可記為  

定理 (3) — 對所有的純量   都有   。(零向量的伸縮還是零向量)

證明

考慮到純量乘法對向量加法的分配律零向量的性質會有

 

那取向量    的向量加法反元素,配上向量加法的結合律單位元的定義會有

 

故得証。 

定理 (4) — 對所有的向量   ,若純量   是體加法的單位元,則  

證明

考慮到   自身的定義,還有純量乘法對體加法的分配律的話有

 

那取向量    的向量加法反元素,配上向量加法的結合律單位元的定義會有

 

故得証。 

定理 (5) — 對所有的向量   和純量   ,如果   ,則    ( 其中   是體加法的單位元)。

證明

  ,根據定理(3)本定理顯然成立。下面只考慮   的狀況。

假設存在向量   和純量   滿足    ,但   。若以   表示體的乘法單位元,那根據其性質與和定義關於純量乘法單位元的部分會有

 

那再根據定義關於純量乘法與體乘法的部分,還有體乘法的交換律會有

 

那再套用定理(3)和前提假設會有

 

這跟前提假設是矛盾的,所以根據反證法德摩根定理,對所有向量   和所有純量   ,只有可能「    」或「 」,但這段敘述正好等價於定理想證明的,故得証。 

定理 (6) — 如果    的體加法反元素,那對所有的向量    的向量加法反元素必為  

證明

以下設純量   是體加法的單位元

考慮到   自身的定義,還有純量乘法對體加法的分配律會有

 
 

然後考慮到前面的定理(4),就有

 
 

然後考慮到定理(2)保證的反元素唯一性,就可以知道向量   的加法反元素必為   

系理 — 如果   是體加法單位元   的體加法反元素,那對所有的向量   ,其向量加法反元素必為  

額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下:

例子

對一般體FV記為F-向量空間。若F實數體,則V稱為實數向量空間;若F複數體,則V稱為複數向量空間;若F有限體,則V稱為有限體向量空間

最簡單的F-向量空間是F自身。只要定義向量加法為體中元素的加法,純量乘法為體中元素的乘法就可以了。例如當F是實數體時,可以驗證對任意實數ab以及任意實數uvw,都有:

  1. u + (v + w) = (u + v) + w
  2. v + w = w + v
  3. 零元素存在:零元素0滿足:對任何的向量元素vv + 0 = v
  4. 反元素存在:對任何的向量元素v,它的相反數w = −v就滿足v + w = 0
  5. 純量乘法對向量加法滿足分配律a(v + w) = a v + a w.
  6. 向量乘法對純量加法滿足分配律(a + b)v = a v + b v.
  7. 純量乘法與純量的體乘法相容:a(bv) =(ab)v
  8. 純量乘法有單位元中的乘法單位元,也就是實數「1」滿足:對任意實數v1v = v

更為常見的例子是給定了直角坐標系的平面:平面上的每一點 都有一個坐標 ,並對應着一個向量 。所有普通意義上的平面向量組成了一個空間,記作ℝ²,因為每個向量都可以表示為兩個實數構成的有序數組 。可以驗證,對於普通意義上的向量加法和純量乘法,ℝ²滿足向量空間的所有公理。實際上,向量空間是ℝ²的推廣。

同樣地,高維的歐幾里得空間n也是向量空間的例子。其中的向量表示為 ,其中的 都是實數。定義向量的加法和純量乘法是:

 
 
 

可以驗證這也是一個向量空間。

再考慮所有系數為實數的多項式的集合 。對於通常意義上的多項式加法和純量乘法, 也構成一個向量空間。更廣泛地,所有從實數體射到實數體的連續函數的集合 也是向量空間,因為兩個連續函數的和或差以及連續函數的若干倍都還是連續函數。

方程組與向量空間

向量空間的另一種例子是齊次線性方程組(常數項都是0的線性方程組)的解的集合。例如下面的方程組:

 
 

如果  都是解,那麼可以驗證它們的「和」 也是一組解,因為:

 
 

同樣,將一組解乘以一個常數後,仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的「向量加法」和「純量乘法」滿足向量空間的公理,因此這個方程組的所有解組成了一個向量空間。

一般來說,當齊次線性方程組中未知數個數大於方程的個數時,方程組有無限多組解,並且這些解組成一個向量空間。

對於齊次線性微分方程,解的集合也構成向量空間。比如說下面的方程:

 

出於和上面類似的理由,方程的兩個解  的和函數 也滿足方程。可以驗證,這個方程的所有解構成一個向量空間。

子空間基底

如果一個向量空間V的一個非空子集合W對於V的加法及標量乘法都封閉(也就是說任意W中的元素相加或者和純量相乘之後仍然在W之中),那麼將W稱為V線性子空間(簡稱子空間)。V的子空間中,最平凡的就是空間V自己,以及只包含0的子空間 

給出一個向量集合B,那麼包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間,也稱線性包絡,記作span(B)。

給出一個向量集合B,若它的生成子空間就是向量空間V,則稱BV的一個生成集。如果一個向量空間V擁有一個元素個數有限的生成集,那麼就稱V是一個有限維空間。

可以生成一個向量空間V線性無關子集,稱為這個空間的。若V={0},約定唯一的基是空集。對非零向量空間V,基是V「最小」的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基B之後,空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列: ,那麼空間中的每一個向量v便可以通過座標系統來呈現:

 

這種表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是說,向量空間的基提供了一個坐標系。

可以證明,一個向量空間的所有基都擁有相同基數,稱為該空間的維度。當V是一個有限維空間時,任何一組基中的元素個數都是定值,等於空間的維度。例如,各種實數向量空間:ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ,…中, ℝn的維度就是n。在一個有限維的向量空間(維度是n)中,確定一組基 ,那麼所有的向量都可以用n個純量來表示。比如說,如果某個向量v表示為:

 

那麼v可以用數組 來表示。這種表示方式稱為向量的坐標表示。按照這種表示方法,基中元素表示為:

 
 
 

可以證明,存在從任意一個n維的 -向量空間到空間 對射。這種關係稱為同構。

線性映射

給定兩個系數體都是F的向量空間V和W,定義由V到W的線性變換(或稱線性映射)為所有從V射到W並且它保持向量加法和純量乘法的運算的函數f

 
 

所有線性轉換的集合記為 ,這也是一個系數體為F的向量空間。在確定了V和W上各自的一組基之後, 中的線性轉換可以通過矩陣來表示。

如果兩個向量空間V和W之間的一個線性映射是一一映射,那麼這個線性映射稱為(線性)同構,表示兩個空間構造相同的意思。如果在V和W之間存在同構,那麼稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之間存在同構 ,那麼其逆映射 也存在,並且對所有的 ,都有:

 

參考文獻

  • 中國大百科全書
  • Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
  • Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
  • Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
  • Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
  • Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8

參考資料

  1. ^ Roman 2005, ch. 1, p. 27

外部連結