向量空間

向量空間是一群可縮放和相加的數學實體（如實數甚至是函數）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究物件。

向量空間是可以縮放和相加的（叫做向量的）對象的集合

正式定義

給定體 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 和某集合 $V$ ，它們具有了以下兩種運算（函數）：

• 向量加法 $\oplus :V\times V\to V$ （其中 $\oplus (u,\,v)$ 慣例上簡記為 $u\oplus v$ ）
• 純量乘法 $\cdot :K\times V\to V$ （其中 $\cdot \,(a,\,v)$ 慣例上簡記為 $a\cdot v$ 甚至是 $av$ ）

且這兩種運算滿足：（特別注意 $+$ 和 $\times$ 是體 $K$ 是本身具有的加法和乘法）

名稱		前提條件	內容
向量加法	的單位元與反元素	存在 $V$ 的元素 $e\in V$ 對所有 $u\in V$	有 $e\oplus u=u\oplus e=u$
			且存在 $w\in V$ 使得 $w\oplus u=u\oplus w=e$
	的結合律	對所有 $u,\,v,\,w\in V$	$u\oplus (v\oplus w)=(u\oplus v)\oplus w$
	的交換律	對所有 $u,\,v\in V$	$u\oplus v=v\oplus u$
純量乘法	的單位元	對所有 $u\in V$	若 $1_{K}\in K$ 是 $K$ 的乘法單位元，則 $1_{K}\cdot u=u$
	對向量加法的分配律	對所有 $u,\,v\in V$ 和所有 $a\in K$	$a\cdot (u\oplus v)=a\cdot u\oplus a\cdot v$
	對體加法的分配律	對所有 $u\in V$ 和所有 $a,\,b\in K$	$(a+b)\cdot u=a\cdot u\oplus b\cdot u$
	與體乘法		$a\cdot (b\cdot u)=(a\times b)\cdot v$

這樣稱 「 $V$ 為定義在體 $K$ 上的向量空間」，而 $V$ 裏的元素 $u\in V$ 被稱為向量；體 $K$ 裏的元素 $a\in K$ 被稱為純量。這樣體 $K$ 就是囊括所有純量的集合，所以為了解說方便，有時會將 $K$ 暱稱為純量體或是純量母空間。在不跟體的加法混淆的情況下，向量加法 $\oplus$ 也可以簡寫成 $+$ 。

前四個條件規定 $\left(V,\,\oplus \right)$ 是交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 是個體，且 $V$ 是一個 $K-$模」。

基本性質

以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。

定理 （1） — 向量加法的單位元是唯一的。

以上的定理事實上繼承自群的單位元唯一性。這樣的話，可以仿造群的習慣以記號 $0_{V}$ 代表「向量加法 $\oplus$ 的唯一單位元」，並稱之為 $V$ 的零向量。

在不跟純量體的加法單位元 $0_{K}\in K$ 混淆的情況下，零向量 $0_{V}\in V$ 也可以簡寫成 $0$ 。

定理 （2） — 任意向量的向量加法反元素是唯一的。

以上的定理事實上繼承自群的反元素唯一性，這樣的話，可以仿造群的習慣以 $u^{-1}$ 代表「向量 $u$ 在向量加法 $\oplus$ 下的唯一反元素」，甚至可以把 $v\oplus u^{-1}$ 簡記為 $v\ominus u$ ，並暱稱為向量減法。在不跟純量的加法混淆的情況下， $u^{-1}$ 也可記為 $-u$ ； $v\ominus u$ 也可記為 $v-u$ 。

定理 （3） — 對所有的純量 $a\in K$ 都有 $a\cdot 0_{V}=0_{V}$ 。（零向量的伸縮還是零向量）

證明

考慮到純量乘法對向量加法的分配律和零向量的性質會有

$a\cdot 0_{V}=a\cdot (0_{V}+0_{V})=a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V}$

那取向量 $u\in V$ 為 $a\cdot 0_{V}$ 的向量加法反元素，配上向量加法的結合律和單位元的定義會有

${\begin{aligned}0_{V}&=u+a\cdot 0_{V}\\&=u+(a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V})\\&=(u+a\cdot 0_{V})+a\cdot 0_{V}\\&=0_{V}+a\cdot 0_{V}\\&=a\cdot 0_{V}\\\end{aligned}}$

故得証。$\Box$

定理 （4） — 對所有的向量 $u\in V$ ，若純量 $0_{K}\in K$ 是體加法的單位元，則 $0_{K}\cdot u=0_{V}$ 。

證明

考慮到體 $K$ 自身的定義，還有純量乘法對體加法的分配律的話有

$0_{K}\cdot u=(0_{K}+0_{K})\cdot u=0_{K}\cdot u+0_{K}\cdot u$

那取向量 $w\in V$ 為 $0_{K}\cdot u$ 的向量加法反元素，配上向量加法的結合律和單位元的定義會有

$0_{V}=w+0_{K}\cdot u=w+(0_{K}\cdot u+0_{K}\cdot u)=(w+0_{K}\cdot u)+0_{K}\cdot u=0_{V}+0_{K}\cdot u=0_{K}\cdot u$

故得証。$\Box$

定理 （5） — 對所有的向量 $u\in V$ 和純量 $a\in K$ ，如果 $a\cdot u=0_{V}$ ，則 $u=0_{V}$ 或 $a=0_{K}$ ( 其中 $0_{K}\in K$ 是體加法的單位元)。

證明

若 $K=\{0_{K}\}$ ，根據定理(3)本定理顯然成立。下面只考慮 $K\neq \{0_{K}\}$ 的狀況。

假設存在向量 $u\in V$ 和純量 $a\in K$ 滿足 $u\neq 0_{V}$ 且 $a\neq 0_{K}$ ，但 $a\cdot u=0_{V}$ 。若以 $1_{K}\in K$ 表示體的乘法單位元，那根據其性質與和定義關於純量乘法單位元的部分會有

${\begin{aligned}u&=1_{K}\cdot u\\&=(a\times {\frac {1}{a}})\cdot u\end{aligned}}$

那再根據定義關於純量乘法與體乘法的部分，還有體乘法的交換律會有

${\begin{aligned}u&=(a\times {\frac {1}{a}})\cdot u\\&=({\frac {1}{a}}\times a)\cdot u\\&={\frac {1}{a}}\cdot (a\cdot u)\end{aligned}}$

那再套用定理(3)和前提假設會有

${\begin{aligned}u&={\frac {1}{a}}\cdot (a\cdot u)\\&={\frac {1}{a}}\cdot 0_{V}\\&=0_{V}\end{aligned}}$

這跟前提假設是矛盾的，所以根據反證法和德摩根定理，對所有向量 $u\in V$ 和所有純量 $a\in K$ ，只有可能「 $u=0_{V}$ 或 $a=0_{K}$ 」或「$a\cdot u\neq 0_{V}$」，但這段敘述正好等價於定理想證明的，故得証。$\Box$

定理 （6） — 如果 $-a\in K$ 是 $a\in K$ 的體加法反元素，那對所有的向量 $u\in V$ ，$a\cdot u$ 的向量加法反元素必為 $-a\cdot u$ 。

證明

以下設純量 $0_{K}\in K$ 是體加法的單位元。

考慮到體 $K$ 自身的定義，還有純量乘法對體加法的分配律會有

$0_{K}\cdot u=(-a+a)\cdot u=-a\cdot u+a\cdot u$

$0_{K}\cdot u=[a+(-a)]\cdot u=a\cdot u+(-a)\cdot u$

然後考慮到前面的定理(4)，就有

$0_{V}=0_{K}\cdot u=-a\cdot u+a\cdot u$

$0_{V}=0_{K}\cdot u=a\cdot u+(-a)\cdot u$

然後考慮到定理(2)保證的反元素唯一性，就可以知道向量 $a\cdot u$ 的加法反元素必為 $-a\cdot u$ 。$\Box$

系理 — 如果 ${-1}_{K}\in K$ 是體加法單位元 $1_{K}\in K$ 的體加法反元素，那對所有的向量 $u\in V$ ，其向量加法反元素必為 ${-1}_{K}\cdot u$ 。

額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

• 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。
• 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。
• 一個向量空間加上拓撲結構並滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。
• 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為體代數。

例子

對一般體F，V記為F-向量空間。若F是實數體ℝ，則V稱為實數向量空間；若F是複數體ℂ，則V稱為複數向量空間；若F是有限體，則V稱為有限體向量空間。

最簡單的F-向量空間是F自身。只要定義向量加法為體中元素的加法，純量乘法為體中元素的乘法就可以了。例如當F是實數體ℝ時，可以驗證對任意實數a、b以及任意實數u、v、w，都有：

1. u + (v + w) = (u + v) + w，
2. v + w = w + v，
3. 零元素存在：零元素0滿足：對任何的向量元素v，v + 0 = v，
4. 反元素存在：對任何的向量元素v，它的相反數w = −v就滿足v + w = 0。
5. 純量乘法對向量加法滿足分配律：a(v + w) = a v + a w.
6. 向量乘法對純量加法滿足分配律：(a + b)v = a v + b v.
7. 純量乘法與純量的體乘法相容：a(bv) =(ab)v。
8. 純量乘法有單位元：ℝ中的乘法單位元，也就是實數「1」滿足：對任意實數v，1v = v。

更為常見的例子是給定了直角坐標系的平面：平面上的每一點$P$都有一個坐標$P(x,y)$，並對應着一個向量$(x,y)$。所有普通意義上的平面向量組成了一個空間，記作ℝ²，因為每個向量都可以表示為兩個實數構成的有序數組$(x,y)$。可以驗證，對於普通意義上的向量加法和純量乘法，ℝ²滿足向量空間的所有公理。實際上，向量空間是ℝ²的推廣。

同樣地，高維的歐幾里得空間ℝⁿ也是向量空間的例子。其中的向量表示為$v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$，其中的$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$都是實數。定義向量的加法和純量乘法是：

$\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$， $v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})$ $\lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})$

可以驗證這也是一個向量空間。

再考慮所有系數為實數的多項式的集合$\mathbb {R} [X]$。對於通常意義上的多項式加法和純量乘法，$\mathbb {R} [X]$也構成一個向量空間。更廣泛地，所有從實數體射到實數體的連續函數的集合${\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$也是向量空間，因為兩個連續函數的和或差以及連續函數的若干倍都還是連續函數。

方程組與向量空間

向量空間的另一種例子是齊次線性方程組（常數項都是0的線性方程組）的解的集合。例如下面的方程組：

$3x+2y-z=0$

$x+5y+2z=0$

如果$(x_{1},y_{1},z_{1})$和$(x_{2},y_{2},z_{2})$都是解，那麼可以驗證它們的「和」$(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$也是一組解，因為：

$3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0$

$(x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0$

同樣，將一組解乘以一個常數後，仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的「向量加法」和「純量乘法」滿足向量空間的公理，因此這個方程組的所有解組成了一個向量空間。

一般來說，當齊次線性方程組中未知數個數大於方程的個數時，方程組有無限多組解，並且這些解組成一個向量空間。

對於齊次線性微分方程，解的集合也構成向量空間。比如說下面的方程：

$f''+4xf'+\cos(x)f=0$

出於和上面類似的理由，方程的兩個解$f_{1}$和$f_{2}$的和函數$f_{1}+f_{2}$也滿足方程。可以驗證，這個方程的所有解構成一個向量空間。

子空間基底

如果一個向量空間V的一個非空子集合W對於V的加法及標量乘法都封閉（也就是說任意W中的元素相加或者和純量相乘之後仍然在W之中），那麼將W稱為V的線性子空間（簡稱子空間）。V的子空間中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空間${0}$。

給出一個向量集合B，那麼包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也稱線性包絡，記作span(B)。

給出一個向量集合B，若它的生成子空間就是向量空間V，則稱B為V的一個生成集。如果一個向量空間V擁有一個元素個數有限的生成集，那麼就稱V是一個有限維空間。

可以生成一個向量空間V的線性無關子集，稱為這個空間的基。若V={0}，約定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V「最小」的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基B之後，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列：$\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}$，那麼空間中的每一個向量v便可以通過座標系統來呈現：

$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots$

這種表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是說，向量空間的基提供了一個坐標系。

可以證明，一個向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。當V是一個有限維空間時，任何一組基中的元素個數都是定值，等於空間的維度。例如，各種實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ^∞,…中， ℝⁿ的維度就是n。在一個有限維的向量空間（維度是n）中，確定一組基$\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}$，那麼所有的向量都可以用n個純量來表示。比如說，如果某個向量v表示為：

$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}$

那麼v可以用數組$v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})$來表示。這種表示方式稱為向量的坐標表示。按照這種表示方法，基中元素表示為：

$e_{1}=(1,0,\cdots ,0)$ $e_{2}=(0,1,\cdots ,0)$ $e_{n}=(0,0,\cdots ,1)$

可以證明，存在從任意一個n維的$\mathbf {F}$-向量空間到空間$\mathbf {F} ^{n}$的對射。這種關係稱為同構。

線性映射

給定兩個系數體都是F的向量空間V和W,定義由V到W的線性變換（或稱線性映射）為所有從V射到W並且它保持向量加法和純量乘法的運算的函數f：

$f:\,V\rightarrow W$ $\forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)$

所有線性轉換的集合記為${\mathcal {L}}(V,W)$，這也是一個系數體為F的向量空間。在確定了V和W上各自的一組基之後，${\mathcal {L}}(V,W)$中的線性轉換可以通過矩陣來表示。

如果兩個向量空間V和W之間的一個線性映射是一一映射，那麼這個線性映射稱為（線性）同構，表示兩個空間構造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那麼稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之間存在同構$f:\,V\rightarrow W$，那麼其逆映射$g:\,W\rightarrow V$也存在，並且對所有的$x\in V,\,y\in W$，都有：

$g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y$

參考文獻

• 《中國大百科全書》
• Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
• Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
• Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
• Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
• Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8