向量空间

向量空間是一群可縮放相加的數學實體(如實數甚至是函数)所構成的特殊集合,其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量,而向量空間正是線性代數的主要研究对象。

线性代数
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵
向量空間是可以縮放和相加的(叫做向量的)對象的集合

正式定義

給定   和某集合   ,它們具有了以下兩種运算函数):[1]

  • 向量加法   (其中   慣例上簡記為  
  • 标量乘法   (其中   慣例上簡記為   甚至是  

且這兩種運算滿足:(特別注意      是本身具有的加法和乘法)

名稱 前提條件 內容
向量加法 单位元逆元素 存在   的元素   對所有    
且存在   使得  
结合律 對所有    
交换律 對所有    
标量乘法 单位元 對所有     乘法单位元,則  
对向量加法的分配律 對所有   和所有    
对域加法的分配律 對所有   和所有    
与域乘法  

這樣稱 「   為定義在   上的向量空間」,而   裡的元素   被稱為向量;域   裡的元素   被稱為标量。這樣域   就是囊括所有标量的集合,所以為了解說方便,有時會將   暱稱為标量域或是标量母空間。在不跟域的加法混淆的情況下,向量加法   也可以簡寫成  

前四個條件規定  交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「   是個域,且   是一個  」。

基本性质

以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。

定理 (1) — 向量加法的單位元是唯一的。

以上的定理事實上繼承自群的單位元唯一性。這樣的話,可以仿造群的習慣以記號   代表「向量加法   的唯一單位元」,並稱之為  零向量

在不跟标量的加法單位元   混淆的情況下,零向量   也可以簡寫成  

定理 (2) — 任意向量的向量加法逆元素是唯一的。

以上的定理事實上繼承自群的逆元唯一性,這樣的話,可以仿造群的習慣以   代表「向量   在向量加法   下的唯一逆元素」,甚至可以把   簡記為   ,並暱稱為向量減法。在不跟标量的加法混淆的情況下,   也可記為    也可記為  

定理 (3) — 對所有的純量   都有   。(零向量的伸縮還是零向量)

證明

考慮到标量乘法对向量加法的分配律零向量的性質會有

 

那取向量    的向量加法逆元素,配上向量加法的结合律单位元的定義會有

 

故得証。 

定理 (4) — 對所有的向量   ,若純量   是域加法的单位元,則  

證明

考慮到   自身的定義,還有标量乘法对域加法的分配律的話有

 

那取向量    的向量加法逆元素,配上向量加法的结合律单位元的定義會有

 

故得証。 

定理 (5) — 對所有的向量   和标量   ,如果   ,则    ( 其中   是域加法的单位元)。

證明

  ,根據定理(3)本定理顯然成立。下面只考慮   的狀況。

假設存在向量   和标量   滿足    ,但   。若以   表示域的乘法單位元,那根據其性質與和定義關於标量乘法單位元的部分會有

 

那再根據定義關於标量乘法与域乘法的部分,還有域乘法的交換律會有

 

那再套用定理(3)和前提假設會有

 

這跟前提假設是矛盾的,所以根據反證法德摩根定理,對所有向量   和所有标量   ,只有可能「    」或「 」,但這段敘述正好等價於定理想證明的,故得証。 

定理 (6) — 如果    的域加法逆元素,那對所有的向量    的向量加法逆元素必為  

證明

以下設純量   是域加法的单位元

考慮到   自身的定義,還有标量乘法对域加法的分配律會有

 
 

然後考慮到前面的定理(4),就有

 
 

然後考慮到定理(2)保證的逆元素唯一性,就可以知道向量   的加法逆元素必為   

系理 — 如果   是域加法單位元   的域加法逆元素,那對所有的向量   ,其向量加法逆元素必為  

額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下:

例子

對一般域FV记為F-向量空間。若F實數域,则V稱為實數向量空間;若F複數域,则V稱為複數向量空間;若F有限域,则V稱為有限域向量空間

最简单的F-向量空間是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法,标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域时,可以验证对任意实数ab以及任意实数uvw,都有:

  1. u + (v + w) = (u + v) + w
  2. v + w = w + v
  3. 零元素存在:零元素0满足:对任何的向量元素vv + 0 = v
  4. 逆元素存在:对任何的向量元素v,它的相反数w = −v就满足v + w = 0
  5. 标量乘法对向量加法满足分配律a(v + w) = a v + a w.
  6. 向量乘法对标量加法满足分配律(a + b)v = a v + b v.
  7. 标量乘法与标量的域乘法相容:a(bv) =(ab)v
  8. 标量乘法有單位元中的乘法单位元,也就是实数“1”满足:对任意实数v1v = v

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面:平面上的每一点 都有一个坐标 ,并对应着一个向量 。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间,记作ℝ²,因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组 。可以验证,对于普通意义上的向量加法和标量乘法,ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上,向量空间是ℝ²的推广。

同样地,高维的欧几里得空间n也是向量空间的例子。其中的向量表示为 ,其中的 都是实数。定义向量的加法和标量乘法是:

 
 
 

可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合 。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法, 也构成一个向量空间。更广泛地,所有从实数域射到实数域的连续函数的集合 也是向量空间,因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组(常数项都是0的线性方程组)的解的集合。例如下面的方程组:

 
 

如果  都是解,那么可以验证它们的“和” 也是一组解,因为:

 
 

同样,将一组解乘以一个常数后,仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理,因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说,当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时,方程组有无限多组解,并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程,解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程:

 

出于和上面类似的理由,方程的两个解  的和函数 也满足方程。可以验证,这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空間基底

如果一個向量空間V的一個非空子集合W对于V的加法及標量乘法都封闭(也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中),那么将W称为V線性子空間(简称子空间)。V的子空间中,最平凡的就是空間V自己,以及只包含0的子空间 

給出一個向量集合B,那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間,也称線性包络,记作span(B)。

給出一個向量集合B,若它的生成子空间就是向量空間V,则稱BV的一个生成集。如果一个向量空間V拥有一个元素个数有限的生成集,那么就稱V是一个有限维空间。

可以生成一個向量空間V線性獨立子集,稱為這個空間的。若V={0},约定唯一的基是空集。對非零向量空間V,基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后,空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能够把基中元素按下标排列: ,那么空间中的每一个向量v便可以通过座標系統來呈現:

 

这种表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是说,向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明,一个向量空間的所有基都擁有相同基數,稱為該空間的維度。当V是一个有限维空间时,任何一组基中的元素个数都是定值,等于空间的维度。例如,各种實數向量空間:ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ,…中, ℝn的維度就是n。在一个有限维的向量空间(维度是n)中,确定一组基 ,那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说,如果某个向量v表示为:

 

那么v可以用数组 来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法,基中元素表示为:

 
 
 

可以证明,存在从任意一个n维的 -向量空间到空间 双射。这种关系称为同构。

線性映射

給定兩個系数域都是F的向量空間V和W,定义由V到W的線性變換(或称线性映射)为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f

 
 

所有线性变换的集合记为 ,这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后, 中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空間V和W之间的一个線性映射是一一映射,那么这个线性映射称为(线性)同构,表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之間存在同構,那么稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之间存在同构 ,那么其逆映射 也存在,并且对所有的 ,都有:

 

參考文獻

  • 中国大百科全书
  • Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
  • Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
  • Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
  • Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
  • Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8

參考資料

  1. ^ Roman 2005, ch. 1, p. 27

外部連結