同一平面上,到定點的距離等於定長的所有點的集合

(英語:circle)的第一個定義是:根據歐幾里得的《幾何原本》,在同一平面內到定點 的距離等於定長 的點的集合[1]。此定點 稱為圓心(center of a circle),此定長 稱為半徑(radius)。

  圓周C
  直徑D
  半徑R
  原點O
類型圓錐曲線
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
circ在維基數據編輯
對稱群O(2)
面積πR2
周長C = 2πR

圓的第二個定義是:平面內一動點到兩定點的距離的比,等於一個不為1的常數,則此動點的軌跡是圓[2];此圓屬於一種阿波羅尼奧斯圓(circles of Apollonius)。

歷史

古代人最早是從太陽、陰曆十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經在獸牙礫石和石珠上鑽孔,那些孔有的就很像圓。[3]到了陶器時代,許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上製成的。[4]當人們開始紡線,又制出了圓形的石紡錘陶紡錘。古代人還發現搬運圓的木頭時滾着走比較省勁。後來他們在搬運重物的時候,就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾着走。[5]

約在6000年前,美索不達米亞人,做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤。[4]大約在4000多年前,人們將圓的木盤固定在木架下,這就成了最初的車子。 古代埃及人認為:圓,是神賜給人的神聖圖形。一直到兩千多年前中國的墨子給圓下了一個定義:圓,一中同長也。意思是說:圓有一個圓心,圓心到圓周上各點的距離(即半徑)都相等。[4]

性質

解析幾何

  • 直角坐標系中的定義: ,其中r是半徑, 是圓心坐標。
  • 參數方程的定義:  
  • 極坐標方程的定義(圓心在原點): 

圓心

圓是在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合,這個定點叫做圓的圓心(通常用 表示)。[6]

圓周上任何兩點相連的線段稱為圓的(英語:chord)。如圖2,  分別為圓上任意兩點,那麼 就是圓的

圓周上任意兩間的部分叫做(英語:arc),通常用符號 表示。弧分為半圓、優弧、劣弧三種。[6]

直徑、半徑

  • 直徑(英語:diameter):經過圓心的稱作直徑(用 表示)。[2]
  • 半徑(英語:radius):在圓中,連接圓心和圓上任意一點的線段叫做圓的半徑,半徑用字母 表示。
 

切線

假如一條直線與圓相交僅有一個交點,那麼稱這條直線是這個圓的切線,與圓相交的叫做切點。[2]如下圖,直線 與圓只有一個交點 ,那麼 就是圓的切線。過圓上一點的切線:設該點為 ,圓的方程為 ,則圓在該點的切線方程為: 

  • 性質定理:圓的切線垂直於經過切點的半徑。
  • 推論1:經過圓心且垂直於切線直線必經過切點。
  • 推論2:經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。

割線

一條直線與一條弧線有兩個公共點,這條直線是這條曲線的割線(英語:Secant Theorem)。[2]如圖,直線 與圓有兩個公共點,那麼直線 就是圓的割線。

 
θ 的正割是從O到Q的距離。

周長

圓的一周的長度稱為圓的周長(記作 )。圓的周長與半徑的關係是:

  

其中 圓周率

面積

圓的面積與半徑的關係是: 

對稱性

圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,圓的對稱軸為經過圓心 的任意直線,圓的對稱中心為圓心 [6]

圓心角、圓周角

 
圖2:弦、圓周角、圓心角
  • 圓心角:頂點在圓心的叫圓心角,圓心角的度數等於它所對的弧的度數,公式表示為 [a][2]如右圖, 為圓的圓心,那麼 為圓心角。
  • 圓周角:頂點在圓周上,兩邊和圓相交的角叫圓周角。如右圖, 的頂點 在圓周上, 的兩邊  分別交在圓周上,那麼 就是圓周角。

圓心角定理

同圓或等圓中,相等的圓心角所對的相等,所對的相等,弦心距[b]相等,此定理也稱「一推三定理」。[6]

圓周角定理

圓周角定理:同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的的一半。[6]
如上圖, 為圓心, 分別為圓周上的,那麼: 

證明: 
 
 
 
 
即: 

圓周角定理的推論:

  1. 同弧或等所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周所對的弧是等弧。
  2. 半圓或直徑所對的圓周角是直角;圓周角是直角所對的弧的半圓,所對的弦是直徑。
  3. 三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形

垂徑定理

 
垂徑定理示意圖

垂徑定理是一種常用的幾何學定理

定理定義:垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的兩條[7]

知二推三

一條直線,在下列5條中只要具備其中任意兩條作為條件,就可以推出其他三條結論。稱為「知二推三」。

  • 平分弦所對的優弧
  • 平分弦所對的劣弧(前兩條合起來就是平分弦所對的兩條弧)
  • 平分弦(不是直徑)
  • 垂直於弦
  • 經過圓心

推論

  1. BE過圓心O,AD=DC,則BE垂直AC並平分AC、AEC兩條弧。即「平分非直徑的弦的直徑垂直於弦並平分弦所對的兩弧。」
  2. AD=DC且BE垂直AC,則BE過圓心O且平分AC、AEC兩條弧。即「弦的垂直平分線過圓心且平分弦所對的兩弧。」
  3. BE是直徑  )=  ),則BE過圓心O,  )=  )。即「平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦且平分弦所對的另一條弧。」

兩圓位置關係

 

兩個不同大小的圓(半徑分別為  ,圓心距為 ,其中 )之間的關係如下:[2]

  1.  :兩圓不相交(內含),互為同心圓
  2.  :兩圓不相交(內含,亦稱「內離」)。
  3.  :兩圓相交於一點(內切),有1條共同切線。
  4.  :兩圓相交於一點(外切),有3條共同切線。
  5.  :兩圓相交於兩點,有2條共同切線。
  6.  :兩圓不相交(外離),有4條共同切線。

圓系方程

在解析幾何中,符合特定條件的某些圓構成一個圓系,一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。例如求半逕到直線距離的方程就可以叫圓系方程。[2]
在方程 中,若圓心 為定點, 為參變數,則它表示同心圓的圓系方程。若 是常量, (或 )為參變數,則它表示半徑相同,圓心在同一直線上(平行於 軸或 軸)的圓系方程。

  • 過兩圓  交點的圓系方程為:
     
  • 過直線 與圓 交點的圓系方程為:
     
  • 過兩圓  交點的直線方程為:
     

其他定義

  • 橢圓平面上到兩個固定點的距離之和為常數的點之軌跡,橢圓的形狀可以用離心率來表示;圓可以看作是一種特殊的橢圓,即當橢圓的兩個焦點重合,離心率 的情況。
  • 三維空間,球面被設定為是在 空間中與一個定點距離為 的所有的集合,此處r是一個正的實數,稱為半徑,固定的點稱為球心或中心,並且不屬於球面的範圍。 是球的特例,稱為單位球。
  • 在測度空間中,圓的定義仍舊指距離一定點等距(在該測度下)的點的集合

其它

相關的立體圖形

截面為圓的三維形狀有:

圓和其他平面形狀

  • 當多邊形的每條邊固定,以有外接圓的圖形面積最大。[8]

圓的問題

參考資料

註釋

  1. ^ L為扇形長,變形公式 
  2. ^ 弦心距指的是圓心的距離

資料

  1. ^ 歐幾里得[原著]/燕曉東(譯). 几何原本. 南京: 江蘇人民出版社. 2014. ISBN 9787214067593. 圓是一個在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合,這個定點就是圓心。 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 高中数学必修1. 北京: 人民教育出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787107177057. (原始內容存檔於2017-06-13). 
  3. ^ 历史. 北京: 人民教育出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787107155598. (原始內容存檔於2017-06-13). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 圆的历史. [2015-08-25]. (原始內容存檔於2021-11-21). 
  5. ^ 古代人是如何搬运重物的?. [2015-08-25]. (原始內容存檔於2016-03-04). 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 数学. 北京: 北京師範大學出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787303136933. (原始內容存檔於2017-06-13). 
  7. ^ 歐幾里得. 第I卷第12个命题. 几何原本. 
  8. ^ J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. reine angew Math. 18, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
  9. ^ 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗?》. 原載於科學月刊第九卷第四期. [2015-08-26]. (原始內容存檔於2014-06-23). 

參見

擴展閱讀

外部連結