同一平面上,到定點的距離等於定長的所有點的集合

(英语:circle)的第一个定义是:根据欧几里得的《几何原本》,在同一平面内到定点 的距离等于定长 的点的集合[1]。此定点 称为圆心(center of a circle),此定长 称为半径(radius)。

  圆周C
  直径D
  半径R
  原点O
类型圆锥曲线
鲍尔斯缩写
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
circ在维基数据编辑
对称群O(2)
面积πR2
周长C = 2πR

圆的第二个定义是:平面内一动点到两定点的距离的比,等于一个不为1的常数,则此动点的轨迹是圆[2];此圆属于一种阿波罗尼奥斯圆(circles of Apollonius)。

历史

古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很像圆。[3]到了陶器时代,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。[4]当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺锤陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候,就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走。[5]

约在6000年前,美索不达米亚人,做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。[4]大约在4000多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最初的车子。 古代埃及人认为:圆,是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前中国的墨子给圆下了一个定义:圆,一中同长也。意思是说:圆有一个圆心,圆心到圆周上各点的距离(即半径)都相等。[4]

性质

解析几何

  • 直角坐标系中的定义: ,其中r是半径, 是圆心坐标。
  • 参数方程的定义:  
  • 极坐标方程的定义(圆心在原点): 

圆心

圆是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合,这个定点叫做圆的圆心(通常用 表示)。[6]

圆周上任何两点相连的线段称为圆的(英语:chord)。如图2,  分别为圆上任意两点,那么 就是圆的

圆周上任意两间的部分叫做(英语:arc),通常用符号 表示。弧分为半圆、优弧、劣弧三种。[6]

直径、半径

  • 直径(英语:diameter):经过圆心的称作直径(用 表示)。[2]
  • 半径(英语:radius):在圆中,连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径,半径用字母 表示。
 

切线

假如一条直线与圆相交仅有一个交点,那么称这条直线是这个圆的切线,与圆相交的叫做切点。[2]如下图,直线 与圆只有一个交点 ,那么 就是圆的切线。过圆上一点的切线:设该点为 ,圆的方程为 ,则圆在该点的切线方程为: 

  • 性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。
  • 推论1:经过圆心且垂直于切线直线必经过切点。
  • 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

割线

一条直线与一条弧线有两个公共点,这条直线是这条曲线的割线(英语:Secant Theorem)。[2]如图,直线 与圆有两个公共点,那么直线 就是圆的割线。

 
θ 的正割是从O到Q的距离。

周长

圆的一周的长度称为圆的周长(记作 )。圆的周长与半径的关系是:

  

其中 圆周率

面积

圆的面积与半径的关系是: 

对称性

圆既是轴对称图形又是中心对称图形,圆的对称轴为经过圆心 的任意直线,圆的对称中心为圆心 [6]

圆心角、圆周角

 
图2:弦、圆周角、圆心角
  • 圆心角:顶点在圆心的叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数,公式表示为 [a][2]如右图, 为圆的圆心,那么 为圆心角。
  • 圆周角:顶点在圆周上,两边和圆相交的角叫圆周角。如右图, 的顶点 在圆周上, 的两边  分别交在圆周上,那么 就是圆周角。

圆心角定理

同圆或等圆中,相等的圆心角所对的相等,所对的相等,弦心距[b]相等,此定理也称“一推三定理”。[6]

圆周角定理

圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的的一半。[6]
如上图, 为圆心, 分别为圆周上的,那么: 

证明: 
 
 
 
 
即: 

圆周角定理的推论:

  1. 同弧或等所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周所对的弧是等弧。
  2. 半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧的半圆,所对的弦是直径。
  3. 三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

垂径定理

 
垂径定理示意图

垂径定理是一种常用的几何学定理

定理定义:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条[7]

知二推三

一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为“知二推三”。

  • 平分弦所对的优弧
  • 平分弦所对的劣弧(前两条合起来就是平分弦所对的两条弧)
  • 平分弦(不是直径)
  • 垂直于弦
  • 经过圆心

推论

  1. BE过圆心O,AD=DC,则BE垂直AC并平分AC、AEC两条弧。即“平分非直径的弦的直径垂直于弦并平分弦所对的两弧。”
  2. AD=DC且BE垂直AC,则BE过圆心O且平分AC、AEC两条弧。即“弦的垂直平分线过圆心且平分弦所对的两弧。”
  3. BE是直径  )=  ),则BE过圆心O,  )=  )。即“平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦且平分弦所对的另一条弧。”

两圆位置关系

 

两个不同大小的圆(半径分别为  ,圆心距为 ,其中 )之间的关系如下:[2]

  1.  :两圆不相交(内含),互为同心圆
  2.  :两圆不相交(内含,亦称“内离”)。
  3.  :两圆相交于一点(内切),有1条共同切线。
  4.  :两圆相交于一点(外切),有3条共同切线。
  5.  :两圆相交于两点,有2条共同切线。
  6.  :两圆不相交(外离),有4条共同切线。

圆系方程

在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。例如求半径到直线距离的方程就可以叫圆系方程。[2]
在方程 中,若圆心 为定点, 为参变数,则它表示同心圆的圆系方程。若 是常量, (或 )为参变数,则它表示半径相同,圆心在同一直线上(平行于 轴或 轴)的圆系方程。

  • 过两圆  交点的圆系方程为:
     
  • 过直线 与圆 交点的圆系方程为:
     
  • 过两圆  交点的直线方程为:
     

其他定义

  • 椭圆平面上到两个固定点的距离之和为常数的点之轨迹,椭圆的形状可以用离心率来表示;圆可以看作是一种特殊的椭圆,即当椭圆的两个焦点重合,离心率 的情况。
  • 三维空间,球面被设定为是在 空间中与一个定点距离为 的所有的集合,此处r是一个正的实数,称为半径,固定的点称为球心或中心,并且不属于球面的范围。 是球的特例,称为单位球。
  • 在测度空间中,圆的定义仍旧指距离一定点等距(在该测度下)的点的集合

其它

相关的立体图形

截面为圆的三维形状有:

圆和其他平面形状

  • 当多边形的每条边固定,以有外接圆的图形面积最大。[8]

圆的问题

参考资料

注释

  1. ^ L为扇形长,变形公式 
  2. ^ 弦心距指的是圆心的距离

资料

  1. ^ 欧几里得[原著]/燕晓东(译). 几何原本. 南京: 江苏人民出版社. 2014. ISBN 9787214067593. 圆是一个在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合,这个定点就是圆心。 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 高中数学必修1. 北京: 人民教育出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787107177057. (原始内容存档于2017-06-13). 
  3. ^ 历史. 北京: 人民教育出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787107155598. (原始内容存档于2017-06-13). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 圆的历史. [2015-08-25]. (原始内容存档于2021-11-21). 
  5. ^ 古代人是如何搬运重物的?. [2015-08-25]. (原始内容存档于2016-03-04). 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 数学. 北京: 北京师范大学出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787303136933. (原始内容存档于2017-06-13). 
  7. ^ 欧几里得. 第I卷第12个命题. 几何原本. 
  8. ^ J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. reine angew Math. 18, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
  9. ^ 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗?》. 原载于科学月刊第九卷第四期. [2015-08-26]. (原始内容存档于2014-06-23). 

参见

扩展阅读

外部链接