存在量化

謂詞邏輯中,存在量化是對論域內至少一個成員的性質或關係的論斷。在符號邏輯中,存在量詞「∃」是用來指示存在量化的符號。

它相對於聲稱某些謂詞對所有事物都為真的全稱量化

基礎

要表達「某些自然數自乘得25」這個命題,一種方式是:

 ,或 ,或 ,或 ,以此類推。

因為使用了「或」一詞,這看上去是邏輯析取。然而形式邏輯中的析取概念卻不能表達出「以此類推」一詞的含義,因此該命題並不能在形式邏輯中解讀。

因此將該命題改述為

存在自然數  

也可表達為

對於某些自然數  

這便是一個使用存在量化的單一命題。該命題比原命題更精確,因為「以此類推」一詞想表示的是要包括所有的自然數、且除此之外不包括任何其它內容,但語言中並沒有明確地陳述這點,這便是「以此類推」一詞不能被形式地解釋的根本原因。

這個新命題為,因為5是自然數,而當把5代入 時,可以得到 。儘管大多數自然數 都不滿足 ,但存在至少一個足以舉證存在命題為真。反之,「存在偶數  」為假,因為一個偶數解也不存在。

然而,「存在奇數  」為真,因為5是奇數。這演示了論域的重要性——確定變量n的取值範圍。限制存在量化的論域要使用邏輯合取。例如「存在奇數  邏輯等價於「存在自然數  是奇數且 」。這裏的「且」構造出了邏輯合取。


在符號邏輯中,使用存在量詞「∃」(反寫的無襯線體的字母"E")來表示存在量化。所以如果 是謂詞「 」,而 則是自然數集,那麼有

 

表示的是真命題「存在自然數  」。

類似的,如果 是謂詞「 是偶數」,那麼有

 

表示的是假命題「存在自然數  是偶數且 」。

引用

參見