尤拉臨界負載

尤拉臨界負載是細長柱體突然彎曲或挫曲時的壓縮負載。公式如下: [1]

圖 1:鋼的臨界應力與細長比,E = 200 GPa,降伏強度 = 240 MPa。

其中

, 尤拉臨界負載(柱上的縱向壓縮負載),
,柱體材料的楊氏模數
,柱體橫截面的最小面積慣性矩
, 柱體的無支撐長度
,柱體有效長度系數

這個公式是在西元1757年瑞士數學家萊昂哈德·尤拉所推導出來。臨界負載是不會引起橫向撓曲(挫曲)的最大負載。對於小於臨界負載的應力,柱將保持筆直。對於大於臨界負載的應力,柱將有橫向形變產生。恰等於臨界負載的應力,使柱處於不穩定平衡狀態。超過臨界載荷的載荷會導致柱因挫曲失效。隨着負載增加超過臨界負載,橫向形變量會增加,直到它可能在其他模式下失效,例如材料降伏。超出臨界負載的應力不在本文的討論範圍。

大約在1900年, J. B. Johnson 提出在低細長比下,應該使用不同的方程式

模型假設

 
圖 2:尤拉臨界負載的柱體有效長度係數。在實際設計時,建議增加為如上圖所示的係數。

在推導尤拉公式時所做的假設如下: [2]

  1. 柱體材料均質且具等向性
  2. 柱體受到的壓縮負載僅有軸向。
  3. 柱子沒有初始應力
  4. 柱子的重量被忽略。
  5. 柱子最初是直的(軸向負載沒有偏移)。
  6. 銷接頭無摩擦(無力矩約束),若是固定端則無剛性(無旋轉偏轉)。
  7. 柱子的橫截面在其整個長度上是均勻、不改變的。
  8. 彎曲應力相比,直接應力非常小(材料僅在彈性應變範圍內被壓縮)。
  9. 細長比很高,與柱的橫截面尺寸相比,柱的長度非常長。
  10. 該柱僅因挫曲而失效,即柱中的壓應力不超過降伏強度  (見圖1):
     

其中:

 , 細長比,
  ,有效長度,
  ,迴轉半徑,
 , 面積慣性矩,
 , 橫截面面積。

對於細長柱體,臨界挫曲應力通常低於降伏應力。相比之下,堅固的柱子可能具有高於降伏的臨界挫曲應力,即它會在挫曲之前就先降伏。

數學推導

銷接端點的柱體

以下模型適用於兩端為簡支承的柱子(   )。

首先,我們要注意銷接端沒有反作用力,所以柱的任何橫截面也沒有剪力。沒有應力的原因可以從對稱性(所以應力應該在相同的方向)和力矩平衡(所以應力應該在相反的方向)得到。

使用圖 3 右側的自由體圖,並將點 x 的力矩加總:

 

其中 w 是橫向變形。

根據尤拉-伯努利樑理論,樑的撓度與其彎矩的關係式為:

  ,
 
圖 3:挫曲負載作用在兩端為銷接點的柱體

  , 所以:

 
 

我們得到一個經典的齊次二階常微分方程

該方程的通解為:   , 這裏的    常數由邊界條件所定義,它們是:

  • 左端點固定 
  • 右端點固定 
 
圖 4:前三種挫曲負載模態

如果  ,沒有彎矩存在,我們得到了平凡解 

但是,從其他解   我們得到   , 其中 

再加上前述的   ,各種臨界負載是:

  , 為了 

並取決於   的值 ,產生不同的挫曲模態[3] ,如圖 4 所示。 n=0 時的負載和模態是非挫曲模態。

理論上任何挫曲模態都有可能出現,但在緩慢施加負載的情況下,可能只會產生第一種模態形狀。

因此,銷端柱的尤拉臨界負載為:

 

得到柱的第一模態挫曲形狀為:

  .

通常的做法

 
圖 5:作用在柱上的力與力矩。

[4]樑軸向的微分方程:

 

對於僅具有軸向負載的柱,橫向負載   消失,再代入   可得到:

 

這是一個齊次四階微分方程,其通解為

 

四個常數   由兩端邊界條件所決定的   來得到。有以下三種情況:

  1. 銷接端 (Pinned end):
      
  2. 固定端 (Fixed end):
      
  3. 自由端 (Free end):
      

對於這些邊界條件的每一種組合,都會得到一個特徵值問題。藉由解決這些問題,我們得到了圖 2 中所示每種條件下的尤拉臨界負載值。

參見

參考資料

  1. ^ Column Buckling | MechaniCalc. mechanicalc.com. [2020-12-27]. (原始內容存檔於2022-05-12). 
  2. ^ Twelve Viva Questions on Columns and Struts. Engineering Tutorials. 2015-03-28 [2020-12-27]. (原始內容存檔於2021-10-08) (英語). 
  3. ^ Buckling of Columns (PDF). (原始內容 (PDF)存檔於2015-05-28). 
  4. ^ Timoshenko, S. P.; Gere, J. M. Theory of Elastic Stability, 2 ed., McGraw-Hill. 1961.