尤拉临界负载

尤拉临界负载是细长柱体突然弯曲或挫曲时的压缩负载。公式如下：

图 1：钢的临界应力与细长比，E = 200 GPa，降伏强度 = 240 MPa。

$P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}$

其中

$P_{cr}$, 尤拉临界负载（柱上的纵向压缩负载），

$E$ ，柱体材料的杨氏模数，

$I$ ，柱体横截面的最小面积惯性矩，

$L$, 柱体的无支撑长度，

$K$ ,柱体有效长度系数

这个公式是在西元1757年由瑞士数学家莱昂哈德·尤拉所推导出来。临界负载是不会引起横向挠曲（挫曲）的最大负载。对于小于临界负载的应力，柱将保持笔直。对于大于临界负载的应力，柱将有横向形变产生。恰等于临界负载的应力，使柱处于不稳定平衡状态。超过临界载荷的载荷会导致柱因挫曲而失效。随着负载增加超过临界负载，横向形变量会增加，直到它可能在其他模式下失效，例如材料降伏。超出临界负载的应力不在本文的讨论范围。

大约在1900年， J. B. Johnson 提出在低细长比下，应该使用不同的方程式。

模型假设

图 2：尤拉临界负载的柱体有效长度系数。在实际设计时，建议增加为如上图所示的系数。

在推导尤拉公式时所做的假设如下：

1. 柱体材料均质且具等向性。
2. 柱体受到的压缩负载仅有轴向。
3. 柱子没有初始应力。
4. 柱子的重量被忽略。
5. 柱子最初是直的（轴向负载没有偏移）。
6. 销接头无摩擦（无力矩约束），若是固定端则无刚性（无旋转偏转）。
7. 柱子的横截面在其整个长度上是均匀、不改变的。
8. 与弯曲应力相比，直接应力非常小（材料仅在弹性应变范围内被压缩）。
9. 细长比很高，与柱的横截面尺寸相比，柱的长度非常长。
10. 该柱仅因挫曲而失效，即柱中的压应力不超过降伏强度$\sigma _{y}$ （见图1）：

    $\sigma ={\frac {P_{cr}}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(L_{e}/r)^{2}}}<\sigma _{y}$

其中：

${\textstyle {\frac {L_{e}}{r}}}$, 细长比,

$L_{e}=KL$ ，有效长度，

${\textstyle r={\sqrt {\operatorname {I} \over \operatorname {A} }}}$ ,回转半径,

$I$, 面积惯性矩,

$A$, 横截面面积。

对于细长柱体，临界挫曲应力通常低于降伏应力。相比之下，坚固的柱子可能具有高于降伏的临界挫曲应力，即它会在挫曲之前就先降伏。

数学推导

销接端点的柱体

以下模型适用于两端为简支承的柱子（ $K=1$ ）。

首先，我们要注意销接端没有反作用力，所以柱的任何横截面也没有剪力。没有应力的原因可以从对称性（所以应力应该在相同的方向）和力矩平衡（所以应力应该在相反的方向）得到。

使用图 3 右侧的自由体图，并将点 x 的力矩加总：

$\Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0$

其中 w 是横向变形。

根据尤拉-伯努利梁理论，梁的挠度与其弯矩的关系式为：

$M=-EI{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$ ,

图 3：挫曲负载作用在两端为销接点的柱体

让$\lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}$ ， 所以：

$EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0$

${\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+\lambda ^{2}w=0$

我们得到一个经典的齐次二阶常微分方程。

该方程的通解为： $w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)$ ， 这里的 $A$ 和 $B$ 常数由边界条件所定义，它们是：

• 左端点固定$\rightarrow w(0)=0\rightarrow A=0$
• 右端点固定$\rightarrow w(l)=0\rightarrow B\sin(\lambda l)=0$

图 4：前三种挫曲负载模态

如果$B=0$ ，没有弯矩存在，我们得到了平凡解$w(x)=0$ 。

但是，从其他解 $\sin(\lambda l)=0$ 我们得到 $\lambda _{n}l=n\pi$ ， 其中$n=0,1,2,\ldots$

再加上前述的 $\lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}$ ，各种临界负载是：

$P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{l^{2}}}$ ， 为了$n=0,1,2,\ldots$

并取决于 $n$ 的值 ，产生不同的挫曲模态 ，如图 4 所示。 n=0 时的负载和模态是非挫曲模态。

理论上任何挫曲模态都有可能出现，但在缓慢施加负载的情况下，可能只会产生第一种模态形状。

因此，销端柱的尤拉临界负载为：

$P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}$

得到柱的第一模态挫曲形状为：

$w(x)=B\sin \left({\pi \over l}x\right)$ .

通常的做法

图 5：作用在柱上的力与力矩。

梁轴向的微分方程：

${\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{\frac {P}{EI}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {q}{EI}}$

对于仅具有轴向负载的柱，横向负载 $q(x)$ 消失，再代入 $\lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}$ 可得到：

${\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=0$

这是一个齐次四阶微分方程，其通解为

$w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D$

四个常数 $A,B,C,D$ 由两端边界条件所决定的 $w(x)$ 来得到。有以下三种情况：

1. 销接端 (Pinned end)：

   $w=0$和$M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0$

2. 固定端 (Fixed end)：

   $w=0$和${dw \over dx}=0$

3. 自由端 (Free end)：

   $M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0$和$V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0$

对于这些边界条件的每一种组合，都会得到一个特征值问题。借由解决这些问题，我们得到了图 2 中所示每种条件下的尤拉临界负载值。

参见

• 挫曲
• 弯矩
• 弯曲 (力学)
• 尤拉-伯努利梁理论