布林函數

在數學中，布林函數（Boolean function），又稱邏輯函數，描述如何基於對布林輸入的某種邏輯計算確定布林值輸出。它們在複雜性理論的問題和數字電腦的晶片設計中扮演基礎角色。布林函數的性質在密碼學中扮演關鍵角色，特別是在對稱金鑰演算法的設計中（參見S-box）。

有限布林函數

在數學中，有限布林函數是如下形式的函數f : B^k → B，這裏的B = {0, 1}是布林域，而k是非負整數。在k = 0的情況下，函數簡單的是B的一個恆定元素。

更一般的說，形如f : X → B函數，這裏的X是任意集合，是布林值函數。如果X = M = {1, 2, 3, …}，則f是「二進制序列」，就是說0和1的無限序列。如果X = [k] = {1, 2, 3, …, k}，則f是長度為k的「二進制序列」

有 $2^{2^{k}}$ 個這種函數。

布林函數可以唯一的寫為積（AND）之和（XOR）。這叫做代數範式（ANF），也叫做Zhegalkin多項式。

這裏的 $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{1,2,\ldots ,n}\in \{0,1\}^{*}$ 。序列 $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{1,2,\ldots ,n}$ 的值因此還唯一的表示一個布林函數。

布林函數的代數次數被定義為出現在乘積項中的 $x_{i}$ 的最高次數。所以 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{3}$ 有次數1（線性），而 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{1}x_{2}x_{3}$ 有次數3（立方）。

對於每個函數 $f$ 都有一個唯一的ANF。只有四個函數有一個參數: $f(x)=0$ ， $f(x)=1$ ， $f(x)=x$ ， $f(x)=1+x$ ；它們都可以在ANF中給出。要表示有多個參數的函數，可以使用如下等式：

f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=g(x_{2},\ldots ,x_{n})+x_{1}h(x_{2},\ldots ,x_{n})

，

這裏的 $g(x_{2},\ldots ,x_{n})=f(0,x_{2},\ldots ,x_{n})$ 並且 $h(x_{2},\ldots ,x_{n})=f(0,x_{2},\ldots ,x_{n})+f(1,x_{2},\ldots ,x_{n})$ 。

實際上，

如果

x_{1}=0

，則

x_{1}h=0

，並因此

f(0,\ldots )=f(0,\ldots )

；

如果

x_{1}=1

，則

x_{1}h=h

，並因此

f(1,\ldots )=f(0,\ldots )+f(0,\ldots )+f(1,\ldots )

。

因為 $g$ 和 $h$ 二者都有比 $f$ 少的參數，可以得出遞歸的使用這個過程將完成於只有一個變數的函數。

例如，讓我們構造一個 $f(x,y)=x\lor y$ （邏輯或）的ANF：

f(x,y)=f(0,y)+x(f(0,y)+f(1,y))

；

因為

f(0,y)=0\lor y=y

並且

f(1,y)=1\lor y=1

，可以得出

f(x,y)=y+x(y+1)

；

通過打開括號我們得到最終的ANF：

f(x,y)=y+xy+x=x+y+xy

。