循環數

循環數（英語：cyclic number），是一類特殊的整數，其包含的各個數字的循環排列恰為該數的連續倍數 ; 一個n位的循環數的性質是它乘以1至n都是各個數字的循環排列 , 乘以(n+1)會出現純位數 , 純位數每個位都是9。例如，最知名的循環數是142857：

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

乘以7出現純位數

142857 × 7 = 999999

另一例子為(0)588235294117647

588235294117647 × 1 = 588235294117647

588235294117647 × 2 = 1176470588235294

588235294117647 × 3 = 1764705882352941

588235294117647 × 4 = 2352941176470588

588235294117647 × 5 = 2941176470588235

588235294117647 × 6 = 3529411764705882

588235294117647 × 7 = 4117647058823529

588235294117647 × 8 = 4705882352941176

588235294117647 × 9 = 5294117647058823

588235294117647 × 10 = 5882352941176470

588235294117647 × 11 = 6470588235294117

588235294117647 × 12 = 7058823529411764

588235294117647 × 13 = 7647058823529411

588235294117647 × 14 = 8235294117647058

588235294117647 × 15 = 8823529411764705

588235294117647 × 16 = 9411764705882352

乘以17出現純位數

588235294117647 * 17 = 9999999999999999

長度為L的循環數可以表示為單位分數${\frac {1}{L+1}}$小數表示形式的循環部分。反過來，如果${\frac {1}{p}}$（其中p為質數）的循環長度為p-1（這樣的質數p稱為全循環質數），那麼其循環部分表示的就是一個循環數。例如： ${1 \over 7}=0.{\overline {142857}}$

其不同倍數的循環部分則是該循環數的循環排列：

${1 \over 7}=0.{\overline {142857}}$

${2 \over 7}=0.{\overline {285714}}$

${3 \over 7}=0.{\overline {428571}}$

${4 \over 7}=0.{\overline {571428}}$

${5 \over 7}=0.{\overline {714285}}$

${6 \over 7}=0.{\overline {857142}}$

參見

• 全循環質數