拓撲不可區分性

在拓撲學中，拓撲空間X內的兩點若有完全相同的鄰域，便稱這兩個點為「拓撲不可區分的」。亦即，設x及y為X內的兩點，A為由所有包含x的鄰域所組成的集合，且B為由所有包含y的鄰域所組成的集合，則x及y為「拓撲不可區分的」若且唯若A = B。

直觀上來說，若X的拓撲無法分辨之中的兩點，即可稱這兩點為拓撲不可區分的。

若X內的兩點不是拓撲不可區分的，則稱這兩點為「拓撲可區分的」。這表示存在只包含兩點之中的其中一點的開集（或等價地說，存在只包含兩點之中的其中一點的閉集），而這個開集則可以用來使兩個點可以區分。T₀空間是一個拓撲空間，其中任意兩個相區別的點都是拓撲可區分的。這是分離公理中最弱的一個限制條件。

拓撲不可區分性會在拓撲空間X上定義出一個等價關係。設x和y為X內的兩個點，若x和y為拓撲不可區分的，便標記成x ≡ y；x的等價類則標記為[x]。

例子

對T₀空間（特別是豪斯多夫空間）而言，拓撲不可區分的概念是沒有意義的，因此若要尋找有趣的例子，必須要在非T₀空間中才行。另一方面，由於正則性和正規性並不蘊涵T₀，所以可以找到一些有這些性質的例子。事實上，下面給出的例子就幾乎都是完全正則的。

• 在不可分空間中，任意兩個點都是拓撲不可區分的。
• 在偽度量空間中，兩點是拓撲不可區分的，若且唯若在兩點之間的距離為零。
• 在半賦範向量空間中，x ≡ y若且唯若‖x − y‖ = 0。
  • 舉例來說，設L²（R）是一個拓撲空間，由所有從R映射至R的平方可積的可測函數所組成（詳見L^p空間）。則在L²（R）內，函數f及g為拓撲不可區分的，若且唯若兩個函數幾乎處處相等。
• 在拓撲群中，x ≡ y，若且唯若x⁻¹y ∈ cl{e}，這裏的cl{e}為當然子群的閉包；而其等價類則為cl{e}的陪集（cl{e}總會是個正規子群）。
• 一致空間推廣了偽度量空間和拓撲群。在一致空間中，x ≡ y若且唯若有序對 (x, y)屬於所有周圍（entourage）。所有周圍的交集正是用X上拓撲不可區分性來定義的等價關係。
• 設X有關於函數族$\{f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }\}$的初拓撲。X中兩個點x和y是拓撲不可區分的，如果$f_{\alpha }$族不區分它們（就是說對所有$\alpha$，$f_{\alpha }(x)=f_{\alpha }(y)$）。
• 給定集合X上的任何等價關係，存在X上的拓撲，它的拓撲不可區分概念一致於這個等價關係。你可以簡單選取這個等價關係為這個拓撲的基。這叫做X上的劃分拓撲。

特殊化預序

在空間X上的拓撲不可區分性可以從在X上的叫做特殊化預序的自然預序來復原。對於X中的點x和y這個預序定義為

x ≤ y 若且唯若x ∈ cl{y}

這裏的cl{y}指示{y}的閉包。等價的說，x ≤ y如果x的鄰域系統，指示為N_x，被包含在y的鄰域系統內：

x ≤ y若且唯若N_x ⊂ N_y。容易看出在X上的這個關係是自反的和傳遞的，所以定義了預序。但是一般的說，這個預序不是反對稱的。實際上，確定自≤的等價關係完全就是拓撲不可區分性的關係：

x ≡ y若且唯若x ≤ y並且y ≤ x。

拓撲空間被稱為對稱（或R₀）的，如果特殊化預序是對稱的（就是說x ≤ y蘊涵y ≤ x）。在這種情況下，關係≤和≡是同一的。拓撲不可區分性在這些空間中表現良好並易於理解。注意這類空間包括所有正則空間和完全正則空間。

性質

等價條件

有很多確定兩個點是拓撲不可區分的等價方式。設X是拓撲空間並設x和y是X的點。把x和y的閉包分別指示為cl{x}和cl{y}，並把它們的鄰域系統分別指示為N_x和N_y。則下列陳述是等價的：

• x ≡ y
• 對於每個X中的開集U，要麼U包含x和y二者要麼都不包含
• N_x = N_y
• x ∈ cl{y}並且y ∈ cl{x}
• cl{x} = cl{y}
• x ∈ ∩N_y並且y ∈ ∩N_x
• ∩N_x = ∩N_y
• x ∈ cl{y}並且x ∈ ∩N_y
• x屬於包含y的所有開集和所有閉集
• 網或濾子會聚於x若且唯若它會聚於y

這些條件可以在X是對稱空間的情況下簡化。對於這些空間(特別是正則空間)，下列陳述是等價的：

• x ≡ y
• 對於每個開集U，如果x ∈ U則y ∈ U
• N_x ⊂ N_y
• x ∈ cl{y}
• x ∈ ∩N_y
• x屬於包含y的所有閉集
• x屬於包含y的所有開集
• 所有會聚於x的網或濾子會聚於y

等價類

要討論x的等價類，為了方便，首先定義x的上閉集合和下閉集合。它們都是關於上述特殊化預序而定義的。

x的下部集合就是{x}的閉包：

$\mathop {\downarrow } x=\{y\in X:y\leq x\}={\textrm {cl}}\{x\}$，而x上部集合是在x的鄰域系統的交集：

$\mathop {\uparrow } x=\{y\in X:x\leq y\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}$。

x的等價類接着給出為交集

$[x]={\mathop {\downarrow } x}\cap {\mathop {\uparrow } x}$。

因為↓x是包含x的所有閉集的交集而↑x是包含x的所有開集的交集，等價類[x]是包含x的所有開集和閉集的交集。

cl{x}和∩N_x二者都包含等價類[x]。一般的說，兩個集合都會包含額外的點。但是在對稱空間中(特別是在正則空間中)，這三個集合是一致的：

$[x]={\textrm {cl}}\{x\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}$。一般的說，等價類[x]會是閉集，若且唯若這個空間是對稱的。

連續函數

設f : X → Y是連續函數。則對於任何X中的x和y有

x ≡ y蘊涵f(x) ≡ f(y)。逆命題一般為假(T₀空間有是平凡的商)。逆命題在X有引發自f的初拓撲的條件下為真。更一般的說，如果X有引發自映射族$f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }$的初拓撲則

x ≡ y若且唯若f_α(x) ≡ f_α(y)對於所有α。可得出在乘積空間中兩個元素是拓撲不可區分的，若且唯若每個它們的分量都是拓撲不可區分的。

柯爾莫果洛夫商空間

因為拓撲不可分別性是在任何拓撲空間X上的等價關係，我們可以形成商空間KX = X/≡。空間KX被叫做柯爾莫哥洛夫商空間或X的T₀同一。事實上，空間KX是T₀（就是說所有點都是拓撲可區分的）。此外，通過商映射的特徵性質，任何從X到T₀空間的連續映射f : X → Y通過商映射q : X → KX而因子化。

儘管商映射q一般不是同胚（因為它一般不是單射），它確實引發在X的拓撲和KX的拓撲之間的雙射。直覺上說，柯爾莫果洛夫商不改變一個空間的拓撲。它只將點集精簡化，直到點都成為拓撲可區分的。

參見

• T₀空間
• 特殊化預序
• 不可區分者的同一性