最大模原理

複分析中,最大模原理說明,如果 f 是一個全純函數且不是常數,那麼它的在定義域內取不到局部最大值。

複變函數cos(z)的模的圖像(紅色),其中 z單位原盤(藍色)取值。最大模原理表明:函數的模的最大值不能在圓盤內部取得(因此紅色曲面的最高處在邊緣上)。

換句話說,全純函數 f 要麼是常數函數,要麼對於其定義域之內的任意點 z0,都存在任意靠近它的點 z,使得

正規陳述

設復值函數 f複平面 C連通開子集 D 上全純。如果存在 ,使得對z0的某個鄰域上的任意點 z 都有 (即 是模的局部最大值點),那麼函數 fD 上的常數函數。

通過取倒數,可以得到等價的最小模原理:設f在有界區域D的內部全純,並連續到D的邊界上,而且沒有零點,則|f(z)|的最小值在D的邊界上取得。

另外,最大模原理可視為開映射定理的特殊情況,即非常數的全純函數把開集映為開集。若|f|在點z處取得極大值,則z的一個充分小的開鄰域的像不可能是開的。因此,f是常數。

證明概要

利用調和函數的最大值原理

用復變量自然對數的等式

 

推導出 調和函數。由於 z0 是這個函數的一個極大值,根據最大值原理 在定義域上是常數。因此,運用柯西-黎曼方程可以得到 ,於是f(z) 是常數函數。通過類似的論證可以得到,|f|的極小值只能在f(z)的孤立零點處取得。

物理解釋

熱傳導方程可以給出這個原理的一個物理解釋。由於 是調和函數,所以可以看作是區域D上的穩定態熱流。假設區域D的內部取得嚴格最大值,則這一最大值點的熱量會向周圍傳導,這與穩定態是相互矛盾的。

應用

最大模原理在複分析中有許多應用,可以用來證明:

參考來源

外部連結