波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

波爾查諾-魏爾施特拉斯定理(英語:Bolzano–Weierstrass theorem)是數學中,尤其是拓撲學實分析中,用以刻畫 中的緊集的基本定理,得名於數學家伯納德·波爾查諾卡爾·魏爾施特拉斯。波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理說明,有限維向量空間中的一個子集序列緊緻(每個序列都有收斂子序列)若且唯若有界閉集

歷史

這個定理最早由伯納德·波爾查諾證明,當他在證明介值定理時,附帶證明了這個定理,但是他的證明已經散佚。卡爾·魏爾施特拉斯獨自發現並證明了這個定理。波爾查諾-魏爾施特拉斯定理是實分析中的基本定理。

基礎概念

  • 子列:也稱為子序列。一個序列 的一個子列是指在 中抽取無窮多個元素,然後按照它們在原來序列里的順序排列起來的序列。嚴格的定義是:如果存在一個從  的嚴格單調遞增的映射 ,使得 ,就稱  的一個子列。
  • 有界閉集: 中的有界閉集概念建立在給定的拓撲度量上的。由於在有限維向量空間中所有度量等價,所以可以將 視為裝備了歐幾里德度量度量空間(並且可以定義相應的範數)。 的子集 有界,若且唯若所有 中元素 範數小於一個給定常數 。注意這時對應的拓撲是歐幾里德範數誘導的自然拓撲。
  • 序列緊緻:稱一個集合 是序列緊緻的,是指每個由集合 中元素所組成的數列都包含收斂的子列,並且該子列收斂到集合 中的某個元素。

定理

波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理可以視為刻畫有限維向量空間 中序列緊緻集合的定理。波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理的核心部分可以僅僅使用序列的語言來表示:

定理 1

任一 中的有界序列 都至少包含一個收斂的子列。[1]:56

從這個定理出發,在給定的有界閉集 中任取一個序列,那麼這個序列是有界的,從而至少包含一個收斂的子列。而從 的封閉性可知,這個子列作為 的一部分,其收斂的極限必然也在 中。所以可以推知:

推論

任一 中的有界閉集必然序列緊緻。[1]:163

這個推論給出了 中集合序列緊緻的充分條件。另一方面,可以證明序列緊緻的集合必然是有界閉集。這樣就將充分條件推進為充要條件:

定理 2

 中的一個子集 是序列緊緻的,若且唯若 是有界閉集。[1]:163

由於有限維賦範向量空間都與裝備了歐幾里德範數的 同胚,所以以上的定理都可以擴展到任意有限維賦範向量空間。[2]:132

證明

證明的關鍵是定理的核心部分,也就是定理1:任一 中的有界序列 都至少包含一個收斂的子列。

引理

任何實數列必然包含單調的子列。[1]:55

引理的證明[1]:55-56

設有實數列 ,定義集合: 。集合中的每個元素,都比序列中排在其後的所有元素都大。

  • 如果 中有無限個元素,在其中取下標遞增的一個數列,那麼這個數列是 的子列,並且單調遞減,構造完畢。
  • 如果 中元素個數有限,那麼設  中元素的下標中最大的一個。對任意 ,考慮  不在集合 中,所以 之後至少會有一個元素大於 。換句話說,序列 裏面排在 後面的任一元素,它後面都必然還有一個比它大的元素。於是取  為第一個大於 的元素的下標, 為第一個大於 的元素的下標,依此類推,就可以得到 的一個單調遞增的子列。

綜上可得,任何實數列必然包含單調的子列。

定理的證明[1]:447

先考慮一維(也就是 )的情況。給定有界的實數列 ,取它的一個單調子列。不妨設這個子列單調遞增,由於數列有上界,依據數列的單調收斂定理,這個子列必然收斂。

對於高維( )的情況,證明的思路是取多次子列。

 為一個有界序列,則 個實數列 都是有界數列。於是存在 的子列 使得 收斂。但是 仍是有界數列,因而存在子列 使得 也收斂(注意這裏 必然是收斂的)。在進行類似的 次操作後,我們就可以得到一個子列,使得 都收斂,也就是說存在子列 收斂。證畢。

波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質

在有限維度量空間中,波爾查諾-魏爾斯特拉斯說明了序列緊緻的集合就是有界閉集。然而在一般的度量空間中,有界閉集不一定是序列緊緻的。為此,拓撲學中將一般度量空間中的序列緊緻稱為波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質。

定義

 為度量空間 的子集。若 中任一序列 都包含一個收斂的子列,其極限也是 中元素,就稱 具有波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質。[1]:598

如果度量空間本身滿足波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質,就稱這個度量空間為緊空間。在度量空間中,波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質等價於海恩-波萊爾性質:所有 開覆蓋有限子覆蓋[1]:602

參考來源

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner, Andrew M. Bruckner. Elementary Real Analysis. CreateSpace. 2008. ISBN 9781434843678 (英語). 
  2. ^ Mustafa A. Akcoglu, Paul F.A. Bartha, Dzung Minh Ha. Analysis in Vector Spaces. John Wiley & Sons. 2011. ISBN 9781118164594. 
  • Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

外部連結