費雪z分佈

提示：此條目的主題不是費雪轉換。

費雪z分佈是F分佈隨機變數的自然對數0.5倍拉伸量的機率分佈：

Fisher's z

機率密度函數
參數	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ deg. of freedom
值域	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
機率密度函數	${\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{\left(d_{1}+d_{2}\right)/2}}}\!$
眾數	$0$

Ronald Fisher

$z={\frac {1}{2}}\ln F$

首次由羅納德·愛爾默·費雪於1924年在多倫多舉辦的國際數學家大會的投稿文章所描述。現今則經常以F分佈取代之。

費雪z分佈的機率密度函數與累積分佈函數可由F分佈於$x'=e^{2x}$求得。然而，其平均數與變異數並不能以相同轉換方式求得。

該機率密度函數為

$f(x;d_{1},d_{2})={\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{(d_{1}+d_{2})/2}}}$

其中B為Β函數。

當自由度很大（$d_{1},d_{2}\rightarrow \infty$）時，該分佈逼近期望值為 ${\bar {x}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{2}}}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)$ 且變異數為 $\sigma _{x}^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}\right)$ 的正態分佈。

相關分佈

• 若$X\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)$則$e^{2X}\sim \operatorname {F} (n,m)$（F分佈）。
• 若$X\sim \operatorname {F} (n,m)$則${\tfrac {\log X}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)$。

外部連結

• MathWorld entry （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）