數論上,一個整數np進賦值指的是能除盡n質數p的最高次方,一般記做。一個等價的定義是,n的質因數分解中p的次方數。

p進賦值是一個賦值,且其賦值可作為常規絕對值的類比。就如常規絕對值有理數實數中的完備化一般,p絕對值有理數P進數.[1]

自然數在2進賦值中的分佈,並加上十進位中的2的次方做標籤;0的賦值為無限。

定義與性質

以下假定p質數

整數

整數np進賦值定義如下:

 

其中 自然數的集合,而 代表 可被 整除。特別地, 的定義域及值域如次: .[2]

像例如說, ,  ,而  since  

 這符號有時用以表示 [3]

 是一個正整數,那麼有

 

而這可由 直接推得。

有理數

p進賦值可以下述函數的形式延伸到有理數上:

 [4][5]

其定義如下:

 

像例如說,  ,而這是因為 之故。

有理數上的賦值其中一些性質如下:

 
 

此外,若 ,那麼

 

其中 是最小值(也就是兩者中較小者)。

p進絕對值

有理數 p絕對值定義如下:

 

而其定義為

 

因此對所有的 而言, ;而一個p進絕對值的例子如次:  and  

p進絕對值滿足下列性質:

非負性  
正定性  
積性  
非阿基米德性  

積性 可知,對於單位根  而言, ,因此這表示說 ;而次可加性 可由非阿基米德三角不等式 得出。

 這個的基底p的選取不會影響其性質;然而有以下的性質:

 

其中此乘積遍歷所有的質數p及常規絕對值,而此處常規絕對值記做 

這項可由質因數分解得出:質因數的冪 會成為相對應的p進絕對值的倒數;而將之乘以常規絕對值後,這些倒數項會被消去。

一些人可能會將p進絕對值給稱為「p進範數」;[來源請求]然而因其不滿足齊次性之故,因此並非真正的範數

一個度量空間可用如下(非阿基米德平移對稱英語Translational symmetry的)度量由 生成:

 

其定義為

 

以此度量對有理數 所做的完備化p進數的集合 

參見

參考資料

  1. ^ 中的完備化Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra 3rd. Wiley. 2003: 758–759. ISBN 0-471-43334-9. 
  2. ^ Ireland, K.; Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York: Springer-Verlag. 2000: 3. 
  3. ^ Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. An Introduction to the Theory of Numbers 5th. John Wiley & Sons. 1991: 4. ISBN 0-471-62546-9. 
  4. ^ 再延伸的數線上,這帶有一般的序關係,也就是說
     ,
    及算術關係
     
  5. ^ Khrennikov, A.; Nilsson, M. p-adic Deterministic and Random Dynamics. Kluwer Academic Publishers. 2004: 9.