数论上,一个整数np进赋值指的是能除尽n质数p的最高次方,一般记做。一个等价的定义是,n的质因数分解中p的次方数。

p进赋值是一个赋值,且其赋值可作为常规绝对值的类比。就如常规绝对值有理数实数中的完备化一般,p绝对值有理数P进数.[1]

自然数在2进赋值中的分布,并加上十进制中的2的次方做标签;0的赋值为无限。

定义与性质

以下假定p质数

整数

整数np进赋值定义如下:

 

其中 自然数的集合,而 代表 可被 整除。特别地, 的定义域及值域如次: .[2]

像例如说, ,  ,而  since  

 这符号有时用以表示 [3]

 是一个正整数,那么有

 

而这可由 直接推得。

有理数

p进赋值可以下述函数的形式延伸到有理数上:

 [4][5]

其定义如下:

 

像例如说,  ,而这是因为 之故。

有理数上的赋值其中一些性质如下:

 
 

此外,若 ,那么

 

其中 是最小值(也就是两者中较小者)。

p进绝对值

有理数 p绝对值定义如下:

 

而其定义为

 

因此对所有的 而言, ;而一个p进绝对值的例子如次:  and  

p进绝对值满足下列性质:

非负性  
正定性  
积性  
非阿基米德性  

积性 可知,对于单位根  而言, ,因此这表示说 ;而次可加性 可由非阿基米德三角不等式 得出。

 这个的基底p的选取不会影响其性质;然而有以下的性质:

 

其中此乘积遍历所有的质数p及常规绝对值,而此处常规绝对值记做 

这项可由质因数分解得出:质因数的幂 会成为相对应的p进绝对值的倒数;而将之乘以常规绝对值后,这些倒数项会被消去。

一些人可能会将p进绝对值给称为“p进范数”;[来源请求]然而因其不满足齐次性之故,因此并非真正的范数

一个度量空间可用如下(非阿基米德平移对称英语Translational symmetry的)度量由 生成:

 

其定义为

 

以此度量对有理数 所做的完备化p进数的集合 

参见

参考资料

  1. ^ 中的完备化Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra 3rd. Wiley. 2003: 758–759. ISBN 0-471-43334-9. 
  2. ^ Ireland, K.; Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York: Springer-Verlag. 2000: 3. 
  3. ^ Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. An Introduction to the Theory of Numbers 5th. John Wiley & Sons. 1991: 4. ISBN 0-471-62546-9. 
  4. ^ 再延伸的数线上,这带有一般的序关系,也就是说
     ,
    及算术关系
     
  5. ^ Khrennikov, A.; Nilsson, M. p-adic Deterministic and Random Dynamics. Kluwer Academic Publishers. 2004: 9.