依賴選擇公理

在數學上，依賴選擇公理（${\mathsf {DC}}$，英語：Axiom of dependent choice）是選擇公理（${\mathsf {AC}}$）較弱的版本，但依賴選擇公理依舊足以發展實分析絕大多數的內容。依賴選擇公理最早由保羅·伯奈斯於1942年一篇討論哪些集合論公理對發展數學分析是必要的文章中引入。

正式描述

若一個$X$上的齊次關係$R$被稱作全關係，則對於所有的$a\in X,$而言，皆存在有一個$b\in X$，使得$a\,R~b$成立。

依賴選擇公理的表述如下： 對於任意非空集合$X$及任意$X$上的全關係$R$而言，皆存在有一個$X$上的序列$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，使得以下陳述成立：

對於任意的$n\in \mathbb {N} .$而言，$x_{n}\,R~x_{n+1}$

若限制上述的$X$為所有實數的集合，那相關公理可表記為${\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.$

應用

即使在沒有這條公理的狀況下，對於任意的$n$，依舊可用一般的數學歸納法造出如此序列的最前面$n$項；而依賴選擇公理說的是我們可用此種方式造出整個（可數無限的）序列。

${\mathsf {DC}}$這條公理是${\mathsf {AC}}$的片斷，而在「必須於每一步都做出選擇」且「一些選擇無法在不仰賴先前選擇的情形下獨立做出」的狀況下證明「存在有可以可數長度的超限遞歸建構的序」列時，這條公理是必須的。

等價陳述

在策梅洛-弗蘭克爾集合論${\mathsf {ZF}}$的框架下，${\mathsf {DC}}$等同於完備度量空間上的貝爾綱定理。

在${\mathsf {ZF}}$的框架下，這公理也等價於勒文海姆–斯科倫定理。

${\mathsf {DC}}$在${\mathsf {ZF}}$的框架下也與「所有有$\omega$層且剪枝過的樹都有分支」這陳述等價。

不僅如此，${\mathsf {DC}}$也與弱化版的佐恩引裏等價；特別地，${\mathsf {DC}}$與「任何使得所有良序鏈都有限且有界的偏序，都必然有極大元素」這敘述等價。

$\,{\mathsf {DC}}\iff$ 所有有ω層且剪枝過的樹都有分支的證明

$(\,\Longleftarrow \,)$設$R$是$X$上的完整二元關係（entire binary relation），那麼此處的策略是定義一棵$X$上有限序列的樹$T$，而這棵樹的鄰近元素滿足$R$這關係。在這種狀況下，$T$的其中一個分支是鄰近元素滿足$R$這關係的無限序列。我們先從定義「若對於$0\leq k<n.$而言，$x_{k}R\,x_{k+1}$，則$\langle x_{0},\dots ,x_{n}\rangle \in T$」開始，由於$R$是完整二元關係之故，因此$T$是一棵具有$\omega$層且剪枝過的樹，因此$T$有$\langle x_{0},\dots ,x_{n},\dots \rangle .$這分支，因此對於所有的$n\geq 0\!:$而言，$\langle x_{0},\dots ,x_{n},x_{n+1}\rangle \in T,$，而這蘊含了$x_{n}R\,x_{n+1}.$，因此${\mathsf {DC}}$為真。 $(\,\Longrightarrow \,)$ 設$T$是一棵位於$X$上具有$\omega$層的剪枝過的樹，那麼此處的策略是定義$T$上的二元關係$R$，而這關係使得${\mathsf {DC}}$導出$t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{f(n)}\rangle$這樣的序列，而在這序列中，$t_{n}R\,t_{n+1}$且$f(n)$是一個嚴格遞增函數；而在這種狀況下，無窮序列$\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$是一個分支。（要證明這點，只需要對$f(n)=m+n.$進行證明）我們先定義「若$u$是$v$的始序列（initial subsequence），且$\operatorname {length} (u)>0,\,$且$\operatorname {length} (v)=$ $\operatorname {length} (u)+1.$，則$u\,R\,v$」開始，由於$T$是一棵具有$\omega$層的剪枝過的樹枝故，所以$R$是個完整關係；因此${\mathsf {DC}}$蘊含說存在有無限序列$t_{n}$使得$t_{n}\,R\,t_{n+1}$，因此對於一些$m\geq 0.$而言，$t_{0}=\langle x_{0},\dots ,x_{m}\rangle$。設$x_{m+n}$$t_{n}.$的最終元素，那麼$t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{m},\dots ,x_{m+n}\rangle .$。對於所有的$k\geq 0,$而言$\langle x_{0},\dots ,x_{k}\rangle$這序列屬於$T$。由於這是$t_{0}\,(k\leq m)$的的始序列，或者是一個$t_{n}\,(k\geq m)$之故，因此$\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$是一個分支。

與其他公理的關係

和完整版的${\mathsf {AC}}$不同的是，${\mathsf {DC}}$在${\mathsf {ZF}}$的框架下，不足以證明說有些實數集是不可測集，也不足以證明有些實數集合不具有貝爾性質或完美集性質；而由於梭羅維模型滿足${\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}$，且在此模型中所有的實數集合都是勒貝格可測集、都具有貝爾性質和完美集性質之故，因此這說法成立。

依賴選擇公理蘊含可數選擇公理，且嚴格強於可數選擇公理。

參考資料

• Jech, Thomas. Set Theory Third Millennium. Springer-Verlag. 2003. ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965. Zbl 1007.03002.