雙線性映射

在數學中，一個雙線性映射是由兩個向量空間上的元素，生成第三個向量空間上一個元素之函數，並且該函數對每個參數都是線性的。例如矩陣乘法就是一個例子。

定義

設 $V$ , $W$ 和 $X$ 是在同一個基礎域 $F$ 上的三個向量空間。雙線性映射是函數

B:V\times W\rightarrow X

使得對於任何 $W$ 中 $w$ ，映射

v\mapsto B\left(v,w\right)

是從 $V$ 到 $X$ 的線性映射，並且對於任何 $V$ 中的 $v$ ，映射

w\mapsto B(v,w)

是從 $W$ 到 $X$ 的線性映射。

換句話說，如果保持雙線性映射的第一個參數固定，並留下第二個參數可變，結果就是線性算子，如果保持第二個參數固定也是類似的。

如果 $V=W$ 並且有 $B\left(v,w\right)=B\left(w,v\right)$ 對於所有 $V$ 中的 $v,w$ ，則我們稱 $B$ 是對稱的。

當這裏的 $X$ 是 $F$ 的時候，我們稱之為雙線性形式，它特別有用(參見例子純量積、內積和二次形式)。

如果使用在交換環 $R$ 上的模替代向量空間，定義不需要任何改變。還可容易的推廣到 $n$ 元函數，這裏正確的術語是「多線性」。

對非交換基礎環 $R$ 和右模 $M_{R}$ 與左模 $_{R}N$ 的情況，我們可以定義雙線性映射 $B:M\times N\rightarrow T$ ，這裏的 $T$ 是阿貝爾環，使得對於任何 $N$ 中的 $n,m\mapsto B\left(m,n\right)$ 是群同態，而對於任何 $M$ 中的 $m,n\mapsto B\left(m,n\right)$ 是群同態，並還滿足

B\left(mt,n\right)=B\left(m,tn\right)

對於所有的 $M$ 中的 $m$ ， $N$ 中 $n$ 和 $R$ 中的 $t$ 。

定義 $V$ , $W$ , $X$ 是有限維的，則 $L\left(V,W;X\right)$ 也是有限維的。對於 $X=F$ 就是雙線性形式，這個空間的維度是 $\dim V\times \dim W$ （儘管線性形式的空間 $L\left(V\times W;K\right)$ 的維度是 $\dim V+\dim W$ ）。看得出來，選擇 $V$ 和 $W$ 的基；接着每個線性映射可以唯一的表示為矩陣 $B(e_{i},f_{j})$ ，反之亦然。現在，如果 $X$ 是更高維的空間，我們明顯的有 $\dim L\left(V,W;X\right)=\dim V\times \dim W\times \dim X$ 。

例子

矩陣乘法是雙線性映射 $M(m,n)\times M(n,p)\rightarrow M(m,p)$ 。
如果在實數 $\mathbb {R}$ 上的向量空間 $V$ 承載了內積，則內積是雙線性映射 $V\times V\rightarrow \mathbb {R}$ 。
一般的說，對於在域 $F$ 上的向量空間 $V$ ，在 $V$ 上的雙線性形式同於雙線性映射 $V\times V\rightarrow F$ 。
如果 $V$ 是有對偶空間 $V^{*}$ 的向量空間，則應用算子 $b(f,v)=f(v)$ 是從 $V^{*}\times V$ 到基礎域的雙線性映射。
設 $V$ 和 $W$ 是在同一個基礎域 $F$ 上的向量空間。如果 $f$ 是 $V^{*}$ 的成員而 $g$ 是 $W^{*}$ 的成員，則 $b(v,w)=f(v)g(w)$ 定義雙線性映射 $V\times W\rightarrow F$ 。
在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中叉積是雙線性映射 $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ 。
設 $B:V\times W\rightarrow X$ 是雙線性映射，而 $L:U\rightarrow W$ 是線性算子，則 $(v,u)\rightarrow B(v,Lu)$ 是在 $V\times U$ 上的雙線性映射。
零映射，定義於 $B(v,w)=o$ 對於所有 $V\times W$ 中的 $(v,w)$ ，是從 $V\times W$ 到 $X$ 的同時為雙線性映射和線性映射的唯一映射。實際上，如果 $(v,w)\in V\times W$ ，則 $B(v,w)=B(v,o)+B(o,w)=o+o$ 。