设, 和是在同一个基础域上的三个向量空间。双线性映射是函数
使得对于任何中,映射
是从到的线性映射,并且对于任何中的,映射
是从到的线性映射。
换句话说,如果保持双线性映射的第一个参数固定,并留下第二个参数可变,结果就是线性算子,如果保持第二个参数固定也是类似的。
如果并且有对于所有中的,则我们称是对称的。
当这里的是的时候,我们称之为双线性形式,它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。
如果使用在交换环 上的模替代向量空间,定义不需要任何改变。还可容易的推广到 元函数,这里正确的术语是“多线性”。
对非交换基础环 和右模 与左模 的情况,我们可以定义双线性映射 ,这里的 是阿贝尔环,使得对于任何 中的 是群同态,而对于任何 中的 是群同态,并还满足
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对于所有的 中的 , 中 和 中的 。
定义 , , 是有限维的,则 也是有限维的。对于 就是双线性形式,这个空间的维度是 (尽管线性形式的空间 的维度是 )。看得出来,选择 和 的基;接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵 ,反之亦然。现在,如果 是更高维的空间,我们明显的有 。