平行六面體

立體幾何圖形

幾何學中,平行六面體是由六個平行四邊形所組成的三維立體,是一種平行多面體。它與平行四邊形的關係,正如正方體正方形之間的關係;在歐幾里得幾何中這四個概念都允許,但在仿射幾何中只允許平行四邊形和平行六面體。平行六面體的三個等價的定義為:

  • 六個面都是平行四邊形的多面體
  • 有三對對面平行的六面體;
  • 底面為平行四邊形的稜柱
平行六面體
平行六面體
平行六面體
類別柱體
對偶多面體平行四面軸正軸體
數學表示法
威佐夫符號
英語Wythoff symbol
2 4 | 2
性質
6
12
頂點8
歐拉特徵數F=6, E=12, V=8 (χ=2)
組成與佈局
面的種類平行四邊形×6
對稱性
對稱群Ci, [2+,2+], (×), order 2
特性
環帶多面體

長方體(六個面都是長方形)、正方體(六個面都是正方形),以及菱面體(六個面都是菱形)都是平行六面體的特殊情況。

平行六面體是擬柱體的一個子類。

性質

平行六面體可由正方體線性轉換而成。

用相同的平行六面體,可以鑲嵌整個空間。

體積

基本公式

平行六面體的體積底面   與高   的乘積,即

 

這裏的高是底面與對面的垂直距離。

以向量計算

 
用向量來定義平行六面體。

另外一個方法是用向量    ,以及   來表示相交於一點的三條棱。平行六面體的體積   等於純量三重積

 

證明

   來表示底面的邊,則根據向量積的定義,底面的面積   為:

 

其中     之間的角,而高為:

 

其中     之間的角。

從圖中我們可以看到,   的大小限定為   。而向量    之間的角   則有可能大於90°( )。也就是說,由於    平行,   的值要麼等於   ,要麼等於   。因此:

 

 

我們得出結論:

 

於是,根據純量積的定義,它等於   的絕對值,即:

 

證畢。

最後一個表達式也可以寫成以下行列式的絕對值:

 


以稜長及夾角計算

    是三條兩兩相鄰的稜長,且    是三條稜邊的夾角,則平行六面體的體積為:

 

證明

從上面可知,平行六面體的體積可表示為:

 

其中:

 

因此

 

依行列式及純量積定義展開公式右手邊,即可得上述公式。


以座標計算

選取任意一頂點   以其相鄰三個頂點     ,則體積可表示為:

 

特殊情況

如果平行六面體具有對稱平面,則一定是以下兩種情況之一:

  • 四個面是長方形;
  • 兩個面是菱形,而在另外四個面中,兩個相鄰面相等,另外兩個面也相等。

長方體是六個面都是長方形的平行六面體;正方體是六個面都是正方形的平行六面體。

菱面體是六個面都是菱形的平行六面體;三方偏方面體是所有菱形面都全等的菱面體。

完美平行六面體

完美平行六面體指棱長、面對角線和體對角線都是整數的平行六面體。在2009年,發現了數十個完美平行六面體的例子[1],包括棱長271、106及103,劣面對角線長101、 266及255,優面角線長183、 312及323,以及體對角線長374、 300、 278及272的平行六面體。

超平行體

平行六面體在高維空間的推廣稱為超平行體

特別地,n維空間中的超平行體稱為n維超平行體。因此,平行四邊形就是2維超平行體,平行六面體就是3維超平行體。

n維超平行體的所有對角線相交於一點,並被這個點所平分。

位於 空間中的n維超平行體的n維體積( ),可以用格拉姆行列式的方法來計算。

參考文獻

外部連結

  1. ^ Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. Perfect parallelepipeds exist. Mathematics of Computation. 2011, 80: 1037–1040. arXiv:0907.0220 . doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. .