弗比尼斯定理

弗比尼斯定理指出（$C^{1}$光滑的情況）：

U為Rⁿ的開集，F是Ω¹(U)的常數階r階的子模。則F可積當且僅當對每個p ∈ U莖(stalk)F_p由r個恰當微分形式給出。

幾何上來看，它說每個1-形式的r階可積模和一個余維為r的層相同。這是研究向量場和層理論的基本工具之一。

這個結論在解析1-形式和和樂情況下也成立，但要把R換成C。它可以推廣到高階的微分形式，在有些條件下，也可以推廣到有奇異點的情況。

也有用向量場表達的定理。存在和如下向量場相切的V的子流形的充分條件

X₁, X₂, ..., X_r,

可以表達為任意兩個場的李括號

[X_i,X_j]

包含在這些場撐成的空間中。因為李括號可在子空間上取，這個條件也是必要的。定理的這兩種表述是因為李括號和外微分是相關的。

上面最後這個表述可以用來表明向量場在流形上的可積性。定理的這個變種表明流形M上的任何光滑向量場X可以積分，得到一個單參數族的曲線。這個可積性是因為定義曲線的方程是一階常微分方程，所以可積性有皮卡-林德洛夫定理保證。

參見

• 微分系統的可積性條件

參考

• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See theorem 2.2.26.